Координаты Якоби (Tkkj;nugmd XtkQn)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Jacobi_coordinates_%E2%80%94_illustration_for_four_bodies.svg/300px-Jacobi_coordinates_%E2%80%94_illustration_for_four_bodies.svg.png)
В теории многочастичных систем координаты Якоби часто используются для упрощения математической формулировки. Эти координаты особенно распространены при рассмотрении многоатомных молекул и химических реакций[3], а также в небесной механике[4]. Алгоритм генерации координат Якоби для N тел может быть основан на двоичных деревьях[5]. На словах алгоритм описывается следующим образом[5]:
Пусть mj и mk — массы двух тел, заменяемых новым телом виртуальной массы M = mj + mk. Координаты положения тел xj и xk заменяются их относительным положением rjk = xj. − xk и вектором к их центру масс Rjk = (mjqj + mkqk)/(mj+mk). Узел в двоичном дереве, соответствующий виртуальному телу, имеет mj в качестве правого дочернего элемента и mk в качестве левого дочернего элемента. Порядок дочерних элементов указывает относительные точки координат от xk до xj. Повторите вышеуказанный шаг для N − 1 тела, то есть N − 2 оригинальных тел плюс новое виртуальное тело.
Для задачи N тел результат таков[2]:
где
Вектор является центром масс всех тел и — новая координата, между частицами 1 и 2:
Таким образом, в результате получается система из N-1 трансляционно-инвариантных координат и координаты центра масс от итеративного сокращения системы двух тел в системе многих тел.
Этой замене координат был сопоставлен якобиан, равный .
Для оператора свободной энергии в этих координатах, можно получить выражение
В расчётах может оказаться полезным следующее тождество
- .
Примечания
[править | править код]- ↑ David Betounes. Differential Equations. — Springer, 2001. — P. 58; Figure 2.15. — ISBN 0-387-95140-7.
- ↑ 1 2 Patrick Cornille. Partition of forces using Jacobi coordinates // Advanced electromagnetism and vacuum physics. — World Scientific, 2003. — P. 102. — ISBN 981-238-367-0.
- ↑ John Z. H. Zhang. Theory and application of quantum molecular dynamics. — World Scientific, 1999. — P. 104. — ISBN 981-02-3388-4.
- ↑ For example, see Edward Belbruno. Capture Dynamics and Chaotic Motions in Celestial Mechanics. — Princeton University Press, 2004. — P. 9. — ISBN 0-691-09480-2.
- ↑ 1 2 Hildeberto Cabral, Florin Diacu. Appendix A: Canonical transformations to Jacobi coordinates // Classical and celestial mechanics. — Princeton University Press, 2002. — P. 230. — ISBN 0-691-05022-8.
![]() | На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. |