Коммутантно-ассоциативная алгебра (Tkbbrmgumuk-gvvkengmnfugx gliyQjg)

Коммутантно-ассоциативная алгебра — неассоциативная алгебра M над полем F, в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

1. Тождеству коммутантной ассоциативности:

([A_{1},A_{2}],[A_{3},A_{4}],[A_{5},A_{6}])=0

,

для всех $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}\in M$ . где $[A,B]=g(A,B)-g(B,A)$ — коммутатор элементов A и B, а $(A,B,C)=g(g(AB),C)-g(A,g(B,C))$ — ассоциатор элементов A, B и C.

2. Условию билинейности:

g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)

для всех $A,B,C\in M$ и $a,b\in F$ .

Другими словами, алгебра M является коммутантно-ассоциативной, если коммутант, то есть подалгебра алгебры M образованная всеми коммутаторами $[A,B]$ , является ассоциативной алгеброй.

Существует следующая взаимосвязь между коммутантно-ассоциативной алгеброй и алгеброй Валя. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутирования $[A,B]=g(A,B)-g(B,A)$ , превращает её в алгебру $M^{(-)}$ . При этом, если M является коммутантно-ассоциативной алгеброй, то $M^{(-)}$ будет алгеброй Валя.

См. также

Литература

A. Elduque, H. C. Myung Mutations of alternative algebras, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1994, ISBN 0-7923-2735-7
V.T. Filippov (2001), «Mal’tsev algebra», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
M.V. Karasev, V.P. Maslov, Nonlinear Poisson Brackets: Geometry and Quantization. American Mathematical Society, Providence, 1993.
A.G. Kurosh, Lectures on general algebra. Translated from the Russian edition (Moscow, 1960) by K. A. Hirsch. Chelsea, New York, 1963. 335 pp. ISBN 0-8284-0168-3 ISBN 978-0-8284-0168-5
A.G. Kurosh, General algebra. Lectures for the academic year 1969/70. Nauka, Moscow,1974. (In Russian)
A.I. Mal’tsev, Algebraic systems. Springer, 1973. (Translated from Russian)
A.I. Mal’tsev, Analytic loops. Mat. Sb., 36 : 3 (1955) pp. 569–576 (In Russian)
Schafer, R.D. An Introduction to Nonassociative Algebras (англ.). — New York: Dover Publications, 1995. — ISBN 0-486-68813-5.
V.E. Tarasov, «Quantum dissipative systems: IV. Analogues of Lie algebras and groups» // Theoretical and Mathematical Physics. Vol.110. No.2. (1997) pp. 168–178.]
V.E. Tarasov Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. Elsevier Science, Amsterdam, Boston, London, New York, 2008. ISBN 0-444-53091-6 ISBN 978-0-444-53091-2
Zhevlakov, K.A. (2001), «Alternative rings and algebras», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4