Кольцо Куммера (Tkl,ek Trbbyjg)

В общей алгебре кольцо Куммера $\mathbb {Z} [\zeta ]$ — это подкольцо кольца комплексных чисел, каждый элемент которого имеет вид

n_{0}+n_{1}\zeta +n_{2}\zeta ^{2}+...+n_{m-1}\zeta ^{m-1}\

где $\zeta$ — корень степени m из единицы, то есть $\zeta =e^{2\pi i/m}\$ , и все $n_{k}$ целые.

Кольцо Куммера является расширением $\mathbb {Z}$ кольца целых, отсюда и обозначение $\mathbb {Z} [\zeta ]$ . Поскольку минимальным многочленом для $\zeta$ является m-й круговой многочлен, кольцо $\mathbb {Z} [\zeta ]$ является расширением степени $\phi (m)$ , где $\phi$ обозначает функцию Эйлера.

Попытка представить кольцо Куммера на диаграмме Арганда может дать нечто подобное гигантской карте эпохи возрождения с розами ветров и локсодромами.

Множество единиц кольца Куммера содержит $\{1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{m-1}\}$ . По теореме Дирихле о единицах существуют единицы бесконечного порядка, за исключением случаев $m=1,2$ (в этих случаях мы имеем обычное кольцо целых), а также случая $m=4$ (гауссовы целые числа) и случаев $m=3,6$ (целые числа Эйзенштейна).

Кольца Куммера названы в честь Эрнста Куммера, который изучал единственность разложения их элементов.

См. также