Класс Штифеля — Уитни (Tlgvv Omnsylx — Rnmun)
Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению . Обычно обозначается через . Принимает значения в , кольце когомологий с коэффициентами в .
Компонента в -х когомологиях обозначается и называется -м классом Штифеля — Уитни расслоения , так что
Классы являются препятствиями в к построению -го линейно независимого сечения , ограниченного на -й остов .
Аксиоматическое определение
[править | править код]Здесь и далее, обозначает сингулярные когомологии пространства с коэффициентами в группе .
Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению элемент кольца гомологий так, что выполняются следующие аксиомы:
- Естественность: для любого расслоения и отображения , где обозначает соответствующее индуцированное расслоение над .
- в .
- является образующей (условие нормализации). Здесь — это тавтологическое расслоение.
- (формула произведения Уитни).
Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства )[1]
Исходное построение
[править | править код]Классы Штифеля — Уитни были предложены Э. Штифелем?! и Х. Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению -го линейно независимого сечения , ограниченного на -й остов . (Здесь — размерность слоя расслоения ).
Более точно, если является CW-комплексом, Уитни определил классы в -й группе клеточных когомологий с нестандартными коэффициентами.
А именно, в качестве коэффициентов берётся -я гомотопическая группа многообразия Штифеля наборов из линейно независимого вектора в слое . Уитни доказал, что для построенных им классов тогда и только тогда, когда расслоение , ограниченное на -скелет , имеет линейно независимое сечение.
Поскольку гомотопическая группа многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна , существует каноническая редукция классов к классам , которые и называются классами Штифеля — Уитни.
В частности, если , то эти классы просто совпадают.
Связанные определения
[править | править код]- Если мы работаем на многообразии размерности , то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени может быть спарено с -фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент ; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие , и . В общем случае, если многообразие -мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям в сумму целых слагаемых.
- Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма.
- Естественному отображению приведения по модулю два, , соответствует гомоморфизм Бокштейна
- Образ класса под его действием, , называется -м целым классом Штифеля — Уитни.
- В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению -структуры.
Свойства
[править | править код]- Если расслоение имеет сечений, линейно независимых над каждой точкой, то .
- при .
- Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда .
- Расслоение допускает спинорную структуру, тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
- Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения (или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает -структуру.
- Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.
Литература
[править | править код]- Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
- Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
- Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979. — 371 с.
Примечания
[править | править код]- ↑ см. разделы 3.5 и 3.6 книги Хьюзмоллера или раздел 8 в Милноре — Сташеве.