Класс Штифеля — Уитни (Tlgvv Omnsylx — Rnmun)

Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению $E\rightarrow X$ . Обычно обозначается через $w(E)$ . Принимает значения в $H^{*}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ , кольце когомологий с коэффициентами в $\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ .

Компонента $w(E)$ в $i$ -х когомологиях $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ обозначается $w_{i}(E)$ и называется $i$ -м классом Штифеля — Уитни расслоения $E$ , так что

w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\ldots \,.

Классы $w_{i}(E)$ являются препятствиями в $H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ к построению $(n-i+1)$ -го линейно независимого сечения $E$ , ограниченного на $i$ -й остов $X$ .

Аксиоматическое определение

Здесь и далее, $H^{i}(X;\;G)$ обозначает сингулярные когомологии пространства $X$ с коэффициентами в группе $G$ .

Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению $E$ элемент кольца гомологий $w(E)$ так, что выполняются следующие аксиомы:

Естественность: $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$ для любого расслоения $E\to X$ и отображения $f:X'\to X$ , где $f^{*}E$ обозначает соответствующее индуцированное расслоение над $X'$ .
$w_{0}(E)=1$ в $H^{0}(X;\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ .
$w_{1}(\gamma ^{1})$ является образующей $H^{1}(\mathbb {R} P^{1};\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ (условие нормализации). Здесь $\gamma ^{1}$ — это тавтологическое расслоение.
$w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)$ (формула произведения Уитни).

Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства $X$ )^[1]

Исходное построение

Классы Штифеля — Уитни $w_{i}(E)$ были предложены Э. Штифелем и Х. Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению $(n-i+1)$ -го линейно независимого сечения $E$ , ограниченного на $i$ -й остов $X$ . (Здесь $n$ — размерность слоя $F$ расслоения $E$ ).

Более точно, если $X$ является CW-комплексом, Уитни определил классы $W_{i}(E)$ в $i$ -й группе клеточных когомологий $X$ с нестандартными коэффициентами.

А именно, в качестве коэффициентов берётся $(i-1)$ -я гомотопическая группа многообразия Штифеля $V_{n-i+1}(F)$ наборов из $n-i+1$ линейно независимого вектора в слое $F$ . Уитни доказал, что для построенных им классов $W_{i}(E)=0$ тогда и только тогда, когда расслоение $E$ , ограниченное на $i$ -скелет $X$ , имеет $n-i+1$ линейно независимое сечение.

Поскольку гомотопическая группа $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)$ многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна $\mathbb {Z} _{2}$ , существует каноническая редукция классов $W_{i}(E)$ к классам $w_{i}(E)\in H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})$ , которые и называются классами Штифеля — Уитни.

В частности, если $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} _{2}$ , то эти классы просто совпадают.

Связанные определения

Если мы работаем на многообразии размерности $n$ $n$ , то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени $n$ $n$ может быть спарено с $\mathbb {Z} _{2}$ -фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент $\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {Z} _{2}$ ; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие $w_{1}^{3}$ $w_{1}^{3}$ , $w_{1}w_{2}$ $w_{1}w_{2}$ и $w_{3}$ $w_{3}$ . В общем случае, если многообразие $n$ $n$ -мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям $n$ $n$ в сумму целых слагаемых.
- Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма.
Естественному отображению приведения по модулю два, $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2}$ , соответствует гомоморфизм Бокштейна
$\beta \colon H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})\to H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} ).$

Образ класса

w_{i}

под его действием,

\beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} )

, называется

(i+1)

-м целым классом Штифеля — Уитни.

В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению $\mathrm {Spin} ^{C}$ -структуры.

Свойства

Если расслоение $E^{k}$ имеет $s_{1},\;\ldots ,\;s_{\ell }$ сечений, линейно независимых над каждой точкой, то $w_{k-\ell +1}=\ldots =w_{k}=0$ .
$w_{i}(E)=0$ при $i>\mathrm {rank} (E)$ .
Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие $M$ ориентируемо тогда и только тогда, когда $w_{1}(TM)=0$ .
Расслоение допускает спинорную структуру, тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения $H^{2}(M,\;\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\;\mathbb {Z} _{2})$ (или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает $\mathrm {Spin} ^{C}$ -структуру.
Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия $X$ обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.