Квантовый граф (Tfgumkfdw ijgs)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Квантовый граф — граф, в котором каждому ребру назначена длина и на каждом ребре задано дифференциальное или псевдодифференциальное уравнение.

В качестве примера может служить электрическая сеть, состоящая из проводов (рёбер), соединённых в трансформаторных подстанциях (вершинах). Дифференциальные уравнения описывают напряжение на проводах, а граничные условия на вершинах обеспечивают нулевую сумму тока на всех входящих и исходящих ребрах каждой вершины.

Впервые были применены Лайнусом Полингом в 1930-е годы для моделирования свободных электронов в органических молекулах. Впоследствии нашли широкое применение в физике[1]: в моделях систем квантового хаоса, при изучении волноводов, для моделирования перехода Андерсона в фотонных кристаллах; в мезоскопической физике квантовые графы используются для теоретического обоснования нанотехнологии. Более простое понятие квантовых графов было предложено Фридманом и другими.[2].

Помимо решения дифференциальных уравнений на квантовом графе для конкретных приложений, изучаются вопросы управляемости (какое входное воздействие обеспечивает переход системы в желаемое состояние, например, для обеспечения достаточной электрической мощности на всех подстанциях) и идентификации систем (как и где необходимо провести измерения какой-либо величины, чтобы получить необходимую информацию о состоянии системы, например, измерение давления в водопроводной системе, чтобы обнаружить утечку воды).

Метрические графы

[править | править код]
Метрический граф с тремя открытыми рёбрами, реализованный на плоскости. Пунктирные линии обозначают метрическое расстояние между двумя точками и .

Метрический граф — граф, состоящий из множества вершин и множества рёбер , где каждому ребру поставлен в соответствие интервал так, что  — координата на этом интервале, вершины и соответствуют и , или наоборот. Выбор того, какая вершина соответствует нулевой координате, произволен, и переназначение вершин начала и конца ребра требует только замены координат ребра. Граф обладает естественной метрикой: для двух точек на графе, расстояние  — длина кратчайшего пути между ними, где длина пути измеряется как сумма длин ребёр пути.

Если в комбинаторном (классическом) графе ребро всегда соединяет пару вершин, то в квантовом графе допускаются полубесконечные ребра (лучи), таким рёбрам ставится в соответствие интервал , где единственная вершина соответствует . Граф, имеющий хотя бы одно такое ребро, называется открытым.

Квантовые графы

[править | править код]

Квантовый граф — метрический граф с заданным дифференциальным (или псевдодифференциальным) оператором, действующим на функциях на рёбрах графа. Функция на метрическом графе определяется как -кортеж функций на интервалах на рёбрах. Гильбертово пространство графа — , где внутреннее произведение двух функций задано как

может быть бесконечным в случае открытых рёбер. Простейший пример оператора на метрическом графе — оператор Лапласа. Оператор на ребре — это , где  — координата ребра. Для обеспечения самосопряжённости оператора необходимо подобрать подходящую область значений, обычно для этого выбирается пространство Соболева функций на рёбрах графа и соответствующие граничные условия на вершинах.

Простейший пример условий, обеспечивающих самосопряженность — граничные условия Дирихле для каждого ребра. Собственные функции на конечных рёбрах могут быть записаны как:

для целого . Если в графе нет открытых рёбер и длины рёбер несоизмеримы над рациональными числами, тогда носитель собственной функции лежит на одном ребре графа, и собственные значения равны . Условия Дирихле не позволяют учитывать взаимодействие между интервалами на ребрах, так что спектр такой же, что и на множестве независимых (несоединённых) рёбер.

Более интересными самосопряжёнными граничными условиями, позволяющими учитывать взаимодействие между рёбрами, являются граничные условия Неймана или естественные граничные условия. Функция в области определения оператора непрерывна всюду на графе и сумма исходящих производных в каждой вершине равна нулю:

,

где , если вершина соответствует , и , если соответствует .

Также изучены свойства других операторов на метрических графах, например, более общий класс операторов Шрёдингера:

,

где  — «магнитный векторный потенциал» на ребре,  — скалярный потенциал.

Другим примером является оператор Дирака на графе, который является матричным оператором, действующим на вектор-функциях, описывающих квантовую механику частиц с собственным моментом импульса равным (например, электрон). Оператор Дирихле — фон Неймана на графе — псевдодифференциальный оператор, который возникает при изучении фотонных кристаллов.

Основные результаты

[править | править код]

Все самосопряженные граничные условия оператора Лапласа на графе можно классифицировать по схеме Кострикина и Шрадера. На практике, часто удобнее использовать предложенный Кучментом в 2004 году формализм[3], который позволяет сразу получить оператор в вариационной форме.

Пусть это вершина с выходящими рёбрами. Для удобства выберем координаты на рёбрах так, чтобы соответствовала для каждого ребра инцидентного . Для функции на графе:

,

граничные условия на могут быть заданы парой матриц и с помощью матричного уравнения:

.

Граничные условия задают самосопряжённый оператор, если имеет максимальный ранг и .

Спектр оператора Лапласа на конечном графе может быть описан с помощью матрицы рассеивания[4][5].

Собственные значения на ребре заданы:

Решение на ребре может быть представлено линейной комбинацией плоских волн.

,

где в нестационарном уравнении Шрёдингера  — коэффициент выходящей плоской волны в ,  — коэффициент входящей плоской волны в . Граничные условия на определяют матрицу рассеивания:

Матрица рассеивания устанавливает отношение между векторами коэффициентов входящих и выходящих плоских волн на , . Для самосопряжённых граничных условий матрица унитарна. Элемент матрицы есть комплексная амплитуда перехода из направленного ребра на ребро , которое в общем случае зависит от . Однако для большого класса граничных условий матрица независима от . Например, с граничными условиями Неймана

,

подстановка и в уравнение (1) для даёт независимые от уравнения для амплитуд переходов

где  — дельта функция Кронекера. По уравнениям для амплитуд переходов можно задать матрицу

Матрицу называют матрицой рассеяния на рёбрах и её можно представлять себе как оператор квантовой эволюции на графе. унитарный оператор и действует на векторе коэффициентов плоских волн для графа, где  — коэффициент плоской волны, переходящей с на . При распространении плоской волны от вершины к вершине , она получает фазу, равную .

Условие квантования: Собственная функция на графе может быть определена через её соответствующих коэффициентов плоских волн. Так как собственная функция стационарна при квантовой эволюции, условие квантования для графа может быть описано используя оператор эволюции

Собственные значения возникают при таких , при которых матрица имеет собственное значение равное единице. Упорядочим спектр .

Первая формула следа для графа была выведена Ротом (1983). В 1997 Коттос и Смилански использовали условие квантования, приведенное выше, чтобы получить следующую формулу следа для оператора Лапласа на графе, когда амплитуды переходов независимы от . Формула следа устанавливает связь между спектором и периодическими орбитами графа.

называется плотностью состояний. Правая часть формулы состоит из двух частей: гладкая часть (часть Вейля) — среднее разделяющее собственных значений, и осциллирующая часть — сумма по всем периодическим орбитам на графе.  — длина орбиты и  — полная длина графа. Для орбиты, порождённой повторением более короткой примитивной орбиты, считает число перераспределений. произведение амплитуд переходов в вершинах графа на орбите.

Приложения

[править | править код]
Молекула нафталина

Квантовые графы были впервые использованы Полингом для моделирования спектра свободных электронов в таких органических молекулах как нафталин ещё в 1930-х годах. В первом приближении атомы моделируются вершинами, а -электроны — ребрами, которые описывают структуру молекулы, к которой привязаны электроны.

Сходная проблема возникает при изучении квантовых волноводов, являющихся мезоскопическими системами — системами, размеры которых исчисляются в нанометрах. Квантовый волновод может быть представлен как утолщённый граф, в котором рёбра — тонкие трубки. Спектр оператора Лапласа на таком волноводе, при выполнении некоторых условий, сходится к спектру оператора Лапласа на графе. Понимание мезоскопических систем играет важную роль в области нанотехнологий.

В 1997 году[6] было предложено использовать квантовые графы в качестве моделей при изучении квантового хаоса. Классическое движение на графе может быть определено как вероятностная цепь Маркова, где вероятность рассеивания от ребра к ребру равна абсолютной величине квадрата амплитуды квантового перехода . Для почти всех конечных связных квантовых графов вероятностная динамика эргодична и является перемешивающей, другими словами она хаотична.

Квантовые графы, вложенные в 2- или 3-мерное пространство, возникают при изучении фотонных кристаллов[7]. В двумерном пространстве простая модель фотонного кристалла состоит из многоугольных клеток плотного диэлектрика с узкими переходами между клетками, заполненными воздухом. Изучение основных состояний диэлектриков приводит к псевдодифференциальным операторам на графе, который соответствует узким переходам.

Периодические квантовые графы, такие как, например, решётка в , используются в качестве моделей для периодических систем[уточнить]. Также квантовые графы были использованы для изучения феномена перехода Андерсона, где локализованные состояния возникают на рёбрах спектральных полос при наличии неупорядоченности.

Примечания

[править | править код]
  1. Berkolaiko, Gregory. Quantum Graphs and Their Applications (Contemporary Mathematics): Proceedings of an AMS-IMS-SIAM Joint Summer Research Conference on Quantum Graphs and Their Applications : [англ.] / Gregory Berkolaiko, Robert Carlson, Peter Kuchment … [et al.]. — American Mathematical Society, 2006. — Vol. 415. — ISBN 978-0821837658.
  2. Freedman, Michael; Lovász, László; Schrijver, Alexander (2007). "Reflection positivity, rank connectivity, and homomorphism of graphs". Journal of the American Mathematical Society (англ.). 20 (01): 37—52. arXiv:math/0404468. doi:10.1090/S0894-0347-06-00529-7. ISSN 0894-0347. MR 2257396.
  3. Kuchment, Peter (2004). "Quantum graphs: I. Some basic structures". Waves in Random Media (англ.). 14 (1): S107—S128. doi:10.1088/0959-7174/14/1/014. ISSN 0959-7174.
  4. Kottos, Tsampikos; Smilansky, Uzy (1999). "Periodic Orbit Theory and Spectral Statistics for Quantum Graphs". Annals of Physics. 274 (1): 76—124. doi:10.1006/aphy.1999.5904. ISSN 0003-4916.
  5. Gnutzmann∥, Sven; Smilansky, Uzy (2006). "Quantum graphs: Applications to quantum chaos and universal spectral statistics". Advances in Physics. 55 (5—6): 527—625. arXiv:nlin/0605028. doi:10.1080/00018730600908042. ISSN 0001-8732.
  6. Kottos, Tsampikos; Smilansky, Uzy (1997). "Quantum Chaos on Graphs". Physical Review Letters. 79 (24): 4794—4797. doi:10.1103/PhysRevLett.79.4794. ISSN 0031-9007.
  7. Kuchment, Peter; Kunyansky, Leonid (2002). "Differential Operators on Graphs and Photonic Crystals". Advances in Computational Mathematics. 16 (24): 263—290. doi:10.1023/A:1014481629504.

Литература

[править | править код]