Инъективное метрическое пространство (Nuaytmnfuky bymjncyvtky hjkvmjguvmfk)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Инъективное метрическое пространство — метрическое пространство, обладающее определёнными свойствами; такими пространствами являются вещественная прямая, все метрические деревья, и другие.

Определение

[править | править код]

Полное геодезическое метрическое пространство называется инъективным (или гипервыпуклым), если произвольное семейство шаров в имеет общую точку, если любые два шара в этом семействе пересекаются.

Связанные определения

[править | править код]
  • Пространство называется -гипервыпуклым если любое семейство из закнутых шаров таких, что имеет общую точку.
    • -гипервыпуклое пространство также называется выпуклым.
  • Пространство называется конечно или счётно гипервыпуклым если тоже условие выполняется для любого конечного (соответственно счётного) семейства шаров.
  • Вещественная прямая, а также любой замкнутый интервал инъективвен.
  • Пространство ограниченных функций на любом пространстве с sup-нормой инъективно.
  • Любое метрическое дерево инъективно.
  • Пространство является 3-гипервыпуклым, но не 4-гипервыпуклым.
  • Пространство Урысона является конечно гипервыпуклым, но не счётно гипервыпуклым.
  • В инъективном пространстве радиус любого множества равен половине его диаметра.
    • Таким образом, инъективные пространства удовлетворяют самой сильной форме теоремы Юнга.
  • Инъективное пространство является полным.
  • Любое короткое отображение инъективного пространства конечного диаметра в себя фиксирует точку.
  • Метрическое пространство является инъективным тогда и только тогда, когда оно является инъективным объектом в категории метрических пространств и коротких отображений по отношению к экстремальным мономорфизмам.
    • Иначе говоря, пространство является инъективным, если для любого короткого отображения и изометрического вложения существует короткое отображение такое, что .
  • Любое метрическое пространство вкладывается в так называемую инъективную оболочку — минимальное инъективное пространство, содержащее исходное. (Инъективная оболочка аналогична выпуклой оболочке.)
    • Инъективная оболочка данного метрического пространства определяется однозначно с точностью до изометрии, коммутирующей с вложением.
  • Конечно гипервыпуклое ограниченно компактное пространство инъетивно.
  • Полное 4-гипервыпуклое пространство конечно гипервыпукло.[1]

Примечания

[править | править код]
  1. B. Miesch and M. Pavón. Ball Intersection Properties in Metric Spaces. 2016. arXiv: 1610.03307 [math.MG].