Интерполяционное пространство (Numyjhklxenkuuky hjkvmjguvmfk)

Интерполяционное пространство — понятие функционального анализа, описывающее свойства банаховых пространств.

Определение

Пусть $A,B,C,D,E,F$ - банаховы пространства, $A,B$ и $C,D$ - две банаховы пары, а $E$ и $F$ - промежуточные банаховы пространства между $A$ и $B$ , $C$ и $D$ соответственно. Тройка $(A,B,E)$ называется интерполяционной относительно тройки $(C,D,F)$ , если всякий ограниченный оператор из пары $A,B$ в пару $C,D$ отображает пространство $E$ в пространство $F$ . Пространство $E$ называется интерполяционным между пространствами банаховой пары $A$ и $B$ , если $A$ совпадает с $C$ , $B$ совпадает с $D$ и $E$ совпадает с $F$ .^[1]

Банахова пара пространств

Банаховой парой называются два банаховых пространства $A$ и $B$ , алгебраически и топологически вложенные в некоторое отделимое топологическое линейное пространство ${\mathfrak {A}}$ .^[2]

Вложенное банахово пространство

Банахово пространство $B$ вложено в банахово пространство $A$ , если:

Из $x\in B$ следует, что $x\in A$ .
Пространство $A$ индуцирует на $B$ структуру векторного пространства, совпадающую со структурой векторного пространства $B$ .
Существует такая константа $C_{AB}$ , что $\|x\|_{A}\leqslant C_{AB}\|x\|_{B}$ для всех $x\in B$ .^[3]

Промежуточное банахово пространство

Банахово пространство $C$ называется промежуточным для пары банаховых пространств $A,B$ , если имеются вложения $(A\cap B)\subset C\subset (A+B)$ . Символ $\subset$ означает алгебраическое и непрерывное вложение. Для того, чтобы банахово пространство $C$ было промежуточным, достаточно, чтобы оно было алгебраически и непрерывно вложено в пространство ${\mathfrak {A}}$ , содержало в себе пространство $A\cap B$ и содержалось в пространстве $A+B$ .^[4]