Интеграл столкновений (Numyijgl vmkltukfyunw)

Интеграл столкновений — выражение, составляющее правую часть кинетического уравнения Больцмана, которое определяет скорость изменения функции распределения частиц $f\left({\vec {r}},{\vec {p}},t\right)$ вследствие столкновений между ними:

I(f,f_{1})=\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }.

Иногда интеграл столкновений называют оператором столкновений и обозначают $\mathrm {St} f$ (от немецкого слова der Stoß — удар).

Если рассматривать только упругие парные столкновения в газе частиц одного сорта, то интеграл столкновений будет иметь вид:

I(f,f_{1})=\int {\left(f^{\prime }f_{1}^{\prime }-ff_{1}\right)\cdot u\cdot \sigma (u,\theta )d\Omega d^{3}p_{1}},

или

I(f,f_{1})=\int \omega \cdot (f^{\prime }f_{1}^{\prime }-ff_{1})\,d^{3}p_{1}d^{3}p^{\prime }d^{3}p_{1}^{\prime },

где

$f=f\left({\vec {r}},{\vec {p}},t\right),~f_{1}=f\left({\vec {r}},{\vec {p}}_{1},t\right)$ — функции распределения частиц с импульсами ${\vec {p}},~{\vec {p}}_{1}$ до столкновения;
$f^{\prime }=f\left({\vec {r}},{\vec {p}}^{\prime },t\right),~f_{1}^{\prime }=f\left({\vec {r}},{\vec {p}}_{1}^{\prime },t\right)$ — функции распределения частиц с импульсами ${\vec {p}}^{\prime },~{\vec {p}}_{1}^{\prime }$ после столкновения;
$\sigma (u,\theta )$ — дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в телесный угол $d\Omega$ ;
${\vec {u}}={\vec {v}}-{\vec {v}}_{1}$ — относительная скорость сталкивающихся частиц;
$\theta$ — угол между относительной скоростью и линией центров;
$\omega =\mathrm {prob} ({\vec {p}}\,{\vec {p}}_{1}|{\vec {p}}^{\prime }\,{\vec {p}}_{1}^{\prime })$ — плотность вероятности столкновения.

\omega \,d^{3}p^{\prime }d^{3}p_{1}^{\prime }=u\,d\sigma ,

d\sigma =\sigma (u,\theta )\,d\Omega

.

Эффективное сечение зависит от вида потенциала взаимодействия двух частиц. В частности, для жёстких упругих сфер радиуса $R$ :

\sigma (u,\theta )=4R^{2}\cos \theta

.

Интеграл столкновений представляет собой разность мощностей источников и стоков частиц с данными импульсами:

I(f,f_{1})=q_{+}-q_{-},

где

$q_{+}=\int \omega \cdot f^{\prime }f_{1}^{\prime }\,d^{3}p_{1}d^{3}p^{\prime }d^{3}p_{1}^{\prime }$ — мощность источников частиц, то есть число молекул с определённым импульсом в данной точке, появляющихся за единицу времени в единице объёма и отнесённое к единичному интервалу импульсов;
$q_{-}=\int \omega \cdot ff_{1}\,d^{3}p_{1}d^{3}p^{\prime }d^{3}p_{1}^{\prime }$ — мощность стоков частиц, то есть число молекул с определённым импульсом в данной точке, исчезающих за единицу времени в единице объёма и отнесённое к единичному интервалу импульсов.