Замкнутая геодезическая ({gbturmgx iyk;y[ncyvtgx)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Замкнутая геодезическая на римановом многообразии — это геодезическая, которая образует простую замкнутую кривую. Её можно формализовать как проекцию замкнутой орбиты геодезического потока на касательное пространство многообразия.

Определение

[править | править код]

В римановом многообразии (M,g) замкнутая геодезическая — это периодическая кривая , которая является геодезической для метрики g.

Замкнутые геодезические можно описать с помощью вариационного принципа. Если обозначить через пространство гладких 1-периодических кривых на M, замкнутые геодезические с периодом 1 — это в точности критические точки функции энергии , определённой формулой

Если — замкнутая геодезическая с периодом p, перепараметризованная кривая является замкнутой геодезической с периодом 1, а потому она является критической точкой E. Если является критической точкой E, таковыми являются и перепараметризованные кривые , для любого , определённые формулой . Тогда любая замкнутая геодезическая на M порождает бесконечную последовательность критических точек энергии E.

На единичной сфере[англ.]* со стандартной круговой римановой метрикой любой большой круг является замкнутой геодезической. Таким образом, на сфере все геодезические замкнуты. На гладкой поверхности, топологически эквивалентной сфере, это может и не быть верным, но всегда существуют по меньшей мере три простые замкнутые геодезические. Это теорема о трёх геодезических[англ.][1]. Многообразия, на которых все геодезические замкнуты, были тщательно исследованы в математической литературе. На компактной гиперболической поверхности, фундаментальная группа которой не имеет кручения, замкнутые геодезические один к одному соответствуют нетривиальным классам сопряжённости элементов в фуксовой группе поверхности.

Примечания

[править | править код]
  1. Grayson, 1989, с. 71–111.

Литература

[править | править код]
  • A. Besse. Manifolds all of whose geodesics are closed. — Berlin: Springer, 1978. — Т. 93. — (Ergebisse Grenzgeb. Math.).
  • W. Klingenberg. Lectures on closed geodesics. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1978. — Т. 230. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-08393-6.
  • Matthew A.Grayson. Shortening embedded curves // Annals of Mathematics. — 1989. — Т. 129, вып. 1. — С. 71–111. — doi:10.2307/1971486.