Замкнутая геодезическая ({gbturmgx iyk;y[ncyvtgx)

Замкнутая геодезическая на римановом многообразии — это геодезическая, которая образует простую замкнутую кривую. Её можно формализовать как проекцию замкнутой орбиты геодезического потока на касательное пространство многообразия.

Определение

В римановом многообразии (M,g) замкнутая геодезическая — это периодическая кривая $\gamma :\mathbb {R} \rightarrow M$ , которая является геодезической для метрики g.

Замкнутые геодезические можно описать с помощью вариационного принципа. Если обозначить через $\Lambda M$ пространство гладких 1-периодических кривых на M, замкнутые геодезические с периодом 1 — это в точности критические точки функции энергии $E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R}$ , определённой формулой

$E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.$

Если $\gamma$ — замкнутая геодезическая с периодом p, перепараметризованная кривая $t\mapsto \gamma (pt)$ является замкнутой геодезической с периодом 1, а потому она является критической точкой E. Если $\gamma$ является критической точкой E, таковыми являются и перепараметризованные кривые $\gamma ^{m}$ , для любого $m\in \mathbb {N}$ , определённые формулой $\gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)$ . Тогда любая замкнутая геодезическая на M порождает бесконечную последовательность критических точек энергии E.

Примеры

На единичной сфере^[англ.]^* $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ со стандартной круговой римановой метрикой любой большой круг является замкнутой геодезической. Таким образом, на сфере все геодезические замкнуты. На гладкой поверхности, топологически эквивалентной сфере, это может и не быть верным, но всегда существуют по меньшей мере три простые замкнутые геодезические. Это теорема о трёх геодезических^[англ.]^[1]. Многообразия, на которых все геодезические замкнуты, были тщательно исследованы в математической литературе. На компактной гиперболической поверхности, фундаментальная группа которой не имеет кручения, замкнутые геодезические один к одному соответствуют нетривиальным классам сопряжённости элементов в фуксовой группе поверхности.

См. также

Примечания

↑ Grayson, 1989, с. 71–111.

Литература

A. Besse. Manifolds all of whose geodesics are closed. — Berlin: Springer, 1978. — Т. 93. — (Ergebisse Grenzgeb. Math.).
W. Klingenberg. Lectures on closed geodesics. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1978. — Т. 230. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-08393-6.
Matthew A.Grayson. Shortening embedded curves // Annals of Mathematics. — 1989. — Т. 129, вып. 1. — С. 71–111. — doi:10.2307/1971486.

[_55744a9678c51731-1] Grayson, 1989, с. 71–111.

[1]