Египетский треугольник (Yinhymvtnw mjyrikl,unt)
Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.
Свойства
[править | править код]- По теореме, обратной теореме Пифагора, египетский треугольник прямоуголен. Его стороны образуют наипростейшую пифагорову тройку: 32+42=52.
- Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.
- Радиус вписанной в треугольник окружности равен единице.
- Площадь треугольника равна 6 единицам.
- Углы египетского треугольника:
- Угол напротив стороны 3 равен arcsin(3/5) ≈ 36,87°.
- Угол напротив стороны 4 равен arcsin(4/5) ≈ 53,13°.
- Угол напротив стороны 5 равен 90° ровно.
История
[править | править код]Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII—V веках до нашей эры древнегреческие философы и математики совершали путешествия в Египет. Так, например, Пифагор в 535 году до нашей эры по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно решение задачи по удвоению площади квадрата с помощью построения на его диагонали большего квадрата привело Пифагора к доказательству знаменитой теоремы. Второй квадрат содержит четыре «половинки» первого, следовательно, его площадь вдвое больше. Эта задача легла в основу характерного для античного искусства способа пропорционирования. Такой способ гармонизации пропорций описал древнегреческий философ Платон (ок. 427—347 гг. до н. э.)[1].
Такой же приём, если верить Плинию Старшему (23—79 гг. н. э.) и Марку Теренцию Варрону (116—27 гг. до н. э.), использовал знаменитый древнегреческий скульптор Поликлет из Аргоса в сочинении «Канон» (сочинение не сохранилось)[2].
Египетский треугольник в истории архитектуры
[править | править код]Древнегреческие архитекторы называли строителей египетских пирамид «гарпедонавтами» («натягивателями верёвок» от др.-греч. αρπεδονη — аркан, петля), поскольку они использовали для построения исходной фигуры — прямоугольного треугольника — мерные шнуры. Простейший способ разбивки плана будущего сооружения на земле сводится к построению прямого угла, от которого зависит проецирование центра тяжести будущего сооружения на середину основания — первое условие прочности и надёжности постройки. Древние зодчие решали эту задачу гениально просто. Они брали мерный шнур — верёвку, разделённую узлами на двенадцать равных частей, соединяли её концы (двенадцатый и нулевой узел) и, растягивая на земле, забивали колышки в землю на третьем, седьмом и двенадцатом делениях. При этом получался треугольник с отношениями сторон 3 : 4 : 5 и он при любых размерах будет прямоугольным. Получив прямой угол без всяких вычислений, строители могли его увеличивать до нужных размеров, переносить в вертикальную плоскость. Благодаря своим универсальным свойствам такой треугольник в истории архитектуры получил название: «египетский священный треугольник». Одна из гигантских пирамид в Гизе — пирамида Хефрена — представляет собой в поперечном сечении два «священных треугольника», а отношение высоты к стороне квадратного основания составляет 2:3 (143,5 : 215,25 м). За долгое время эти размеры несколько уменьшились (136,4 : 210,5 м).
Числа треугольника: 3, 4, 5, их сумма 12, а также 7, сумма 3 и 4, — постоянно встречаются в природе и также почитались священными. Согласно религиозным представлениям, универсальная геометрия египетского треугольника олицетворяла Великую триаду богов: Исида и Осирис (два катета) и их сын Гор (гипотенуза). «Бытие и небытие сопоставляются с Исидой и Осирисом, а диагональ с Гором-Соколом» (егип. ḥr — «высота», «небо»)[3].
Историк и математик Ван дер Варден ставил факт использования египетского треугольника под сомнение, однако более поздние исследования его подтвердили[4].
Египетский треугольник применяли и в архитектуре средних веков[5]. Построение треугольника легло в основу средневекового принципа триангуляции (в отличие от квадратуры) при пропорционировании больших кафедральных соборов, причём не только планов и фасадов, но также трифолиев — «трилистников» и иных элементов декора, переплётов окон, резной готический мебели и орнамента типа масверк[6].
Примечания
[править | править код]- ↑ Платон. Менон // Платон. Собр. соч. в 4-х т. — Т.1. — М.: Мысль, 1990. — С. 594—595 (85 а-с)
- ↑ Плиний Старший. Естествознание. Об искусстве. — М.: Ладомир, 1994. С. 65 (XXXIV, 55—56)
- ↑ Шмелёв И. П. Третья сигнальная система // Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии. — М.: Стройиздат, 1990. — С. 242—243
- ↑ Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматлит, 1959. — С. 13, подстрочное примечание
- ↑ Египетский треугольник // Юсупов Э. С. Словарь терминов архитектуры. — Л.: Изд-во: Ленинградская галерея, 1994. — С. 121. — ISBN 5-85825-004-1, 432
- ↑ Власов В. Г.. Готика, готический стиль // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства. В 10 т. — СПб.: Азбука-Классика. — Т. III, 2005. — С. 251—253