Делимая группа (:ylnbgx ijrhhg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Делимая группа — это группа , такая что для любых и уравнение

разрешимо. Часто группа предполагается абелевой, а условие записывается в аддитивной нотации как .

Группа называется -делимой ( — простое число), если для любого разрешимо в уравнение .

Некоммутативные делимые группы иногда называются полными (не путать с полными группами, которые изоморфны своей группе автоморфизмов).

  • Группа всех рациональных чисел;
  • -примарная квазициклическая группа , то есть группа, порожденная счетным набором элементов , удовлетворяющих условию

Свойства делимых групп

[править | править код]
  • Гомоморфный образ делимой абелевой группы является делимой группой.
  • Абелева группа является делимой тогда и только тогда, когда она -делима при каждом простом .
  • Каждая делимая подгруппа выделяется прямым слагаемым.
  • Любая абелева группа разлагается в прямую сумму , где  — делимая группа (она называется делимой частью группы ), а  — редуцированная группа, то есть группа, не содержащая ненулевых делимых подгрупп.

Строение делимых групп

[править | править код]

Если  — произвольная делимая абелева группа, то

.

Связанные определения

[править | править код]

Если в полной группе указанные в определении уравнения разрешимы однозначно, она называется D-группой. Таковы, в частности, локально нильпотентные полные группы без кручения.

Литература

[править | править код]