Двойное отношение (:fkwuky kmukoyuny)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение) четвёрки чисел , , , (вещественных или комплексных) определяется как

Также встречаются обозначения и .

  • .
  • Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях, в частности не зависит от выбора координат на прямой.
.
В частности, если двойное отношение четвёрки чисел равно , тогда двойное отношение любой из 24 перестановок четвёрки равно одному из следующих шести значений:
.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Двойным (или сложным) отношением четвёрки точек , , , , лежащих на одной (вещественной или комплексной) прямой, называют число

где через , , , обозначены координаты точек , , , соответственно. Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой. Часто пишут также так:

подразумевая, что через (соответственно ) обозначено отношение направленных отрезков.

Двойным отношением четвёрки прямых , , , , проходящих через одну точку, называют число

знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми и , не пересекается ни с одной из прямых или (в этом случае говорят, что пара прямых и не разделяет пару прямых и ), то ; в противном случае .

  • Пусть четвёрка прямых , , , проходит через точку , а прямая не содержит . Предположим прямые , , , пересекаются с соответственно в точках , , и . Тогда
  • Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика?
  • Ангармоническое отношение точек // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  • Шаль, Мишель. Об ангармонической функции четырех точек или четырех прямых // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.