Группа комплексных отражений (Ijrhhg tkbhlytvud] kmjg'yunw)

Группа комплексных отражений — конечная группа, действующая на конечномерном комплексном векторном пространстве определённым образом.

Примеры

Симметрическая группа
Диэдральная группа
группы Кокстера и в частности
- группы Вейля
- Группы симметрий правильных многогранников.

Определение

Комплексное отражение конечномерного комплексного векторного пространства V — это элемент конечного порядка, фиксирующий точки гиперплоскости.

Группа комплексных отражений — это конечная подгруппа, порожденная комплексными отражениями.

Связанные определения

Группа комплексных отражений W называется неприводимой, если пространство не содержит собственных W-инвариантых подпространств.
- В этом случае размерность векторного пространства называется рангом W.

Классификация

Любая группа комплексных отражений представляется как произведение неприводимых групп комплексных отражений, действующая на прямой сумме соответствующих пространств. Поэтому достаточно расклассифицировать неприводимые комплексные группы отражений.

Неприводимые группы комплексных отражений включают бесконечное семейство $G(m,p,n)$ , зависящее от трёх положительных целых параметров с $m\,\vdots \,p$ , и 34 исключительных групп.

Группа $G(m,p,n)$ имеет порядок $m^{n}\cdot n!/p$ , является полупрямым произведением симметрической группы $S_{n}$ , действующей перестановками на группе $n$ -ок

(\theta ^{a_{1}},\dots ,\theta ^{a_{n}}),

таких, что $\theta$ — примитивный корень $m$ -ой степени из единицы и

a_{1}+\dots +a_{n}\equiv 0{\pmod {p}}.

Группу $G(m,p,n)$ можно также описать как подгруппу индекса $p$ обобщенной симметрической группы^[англ.] $S(m,n)$ .

Особые случаи $G(m,p,n)$ :

$G(1,1,n)$ является группой Кокстера A_n−1
$G(2,1,n)$ является группой Кокстера B_n = C_n
$G(2,2,n)$ является группой Кокстера D_n
$G(m,p,1)$ циклическая группа порядка m/p.
$G(m,m,2)$ является группой Кокстера I₂(m) (и группа Вейля G₂ при m = 6).
Группа $G(m,p,n)$ действует неприводимо на $\mathbb {C} ^{n}$ , за исключением случаев $m=1$ , $n>1$ (симметрическая группа) и $G(2,2,2)$ (Клейнова 4 группа), когда $\mathbb {C} ^{n}$ распадается на сумму неприводимых представлений размерности $1$ и $n-1$ .
Две группы $G(m,p,n)$ изоморфны как группы комплексных отражений, только если одна из них $G(m\cdot a,p\cdot a,n)$ , а другая $G(m\cdot b,p\cdot b,n)$ для некоторых положительных целых чисел $a$ и $b$ . Однако бывают и другие случаи, когда две такие группы изоморфны как абстрактные группы.

Таблица

Есть несколько повторений в первых 3 строках этого списка, см. предыдущий раздел.

ШТ номер Шепарда — Тодда группы.
Ранг размерность комплексного векторного пространства группа, на котором она действует.
Структура описывает структуру группы. Символ «*» обозначает центральное произведение^[англ.] двух групп. T, O и I обозначают группы вращений тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, порядки этих групп соответственно 12, 24 и 60.
Порядок — число элементов группы.
Отражения — число отражений: 2⁶4¹² означает, что есть 6 отражений порядка 2 и 12 порядка 4.
Степени — степени инвариантов кольца полиномиальных инвариантов. Например, инварианты группа № 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6.

ШТ	Ранг	Структура	Порядок	Отражения	Степени	Костепени
1	n−1	Симметрическая группа G(1,1,n) = Sym(n)	n!	2^{n(n − 1)/2}	2, 3, ...,n	0,1,...,n − 2
2	n	G(m,p,n) m > 1, n > 1, p\|m (G(2,2,2) приводима)	mⁿn!/p	2^mn(n−1)/2,d^nφ(d) (d\|m/p, d > 1)	m,2m,..,(n − 1)m; mn/p	0,m,..., (n − 1)m если p < m; 0,m,...,(n − 2)m, (n − 1)m − n если p = m
3	1	Циклическая группа G(m,1,1) = Z_m	m	d^φ(d) (d\|m, d > 1)	m	0
4	2	Z₂.T = 3[3]3,	24	3⁸	4,6	0,2
5	2	Z₆.T = 3[4]3,	72	3¹⁶	6,12	0,6
6	2	Z₄.T = 3[6]2,	48	2⁶3⁸	4,12	0,8
7	2	Z₁₂.T =〈3,3,3〉₂, 〈3,3,2〉₆	144	2⁶3¹⁶	12,12	0,12
8	2	Z₄.O = 4[3]4,	96	2⁶4¹²	8,12	0,4
9	2	Z₈.O = 4[6]2,	192	2¹⁸4¹²	8,24	0,16
10	2	Z₁₂.O = 4[4]3,	288	2⁶3¹⁶4¹²	12,24	0,12
11	2	Z₂₄.O = 〈4,3,2〉₁₂	576	2¹⁸3¹⁶4¹²	24,24	0,24
12	2	Z₂.O= GL₂(F₃)	48	2¹²	6,8	0,10
13	2	Z₄.O = 〈4,3,2〉₂	96	2¹⁸	8,12	0,16
14	2	Z₆.O = 3[8]2,	144	2¹²3¹⁶	6,24	0,18
15	2	Z₁₂.O = 〈4,3,2〉₆	288	2¹⁸3¹⁶	12,24	0,24
16	2	Z₁₀.I = 5[3]5,	600	5⁴⁸	20,30	0,10
17	2	Z₂₀.I = 5[6]2,	1200	2³⁰5⁴⁸	20,60	0,40
18	2	Z₃₀.I = 5[4]3,	1800	3⁴⁰5⁴⁸	30,60	0,30
19	2	Z₆₀.I = 〈5,3,2〉₃₀	3600	2³⁰3⁴⁰5⁴⁸	60,60	0,60
20	2	Z₆.I = 3[5]3,	360	3⁴⁰	12,30	0,18
21	2	Z₁₂.I = 3[10]2,	720	2³⁰3⁴⁰	12,60	0,48
22	2	Z₄.I = 〈5,3,2〉₂	240	2³⁰	12,20	0,28
23	3	W(H₃) = Z₂ × PSL₂(5), группа Коксетера [5,3],	120	2¹⁵	2,6,10	0,4,8
24	3	W(J₃(4)) = Z₂ × PSL₂(7), Klein [1 1 1⁴]⁴,	336	2²¹	4,6,14	0,8,10
25	3	W(L₃) = W(P₃) = 3¹⁺².SL₂(3), группа Гессе 3[3]3[3]3,	648	3²⁴	6,9,12	0,3,6
26	3	W(M₃) =Z₂ ×3¹⁺².SL₂(3), группа Гессе, 2[4]3[3]3,	1296	2⁹ 3²⁴	6,12,18	0,6,12
27	3	W(J₃(5)) = Z₂ ×(Z₃.Alt(6)), группа Влентиера^[англ.] [1 1 1⁵]⁴,	2160	2⁴⁵	6,12,30	0,18,24
28	4	W(F₄) = (SL₂(3)* SL₂(3)).(Z₂ × Z₂) группа Вейля [3,4,3],	1152	2¹²⁺¹²	2,6,8,12	0,4,6,10
29	4	W(N₄) = (Z₄*2^{1 + 4}).Sym(5) [1 1 2]⁴,	7680	2⁴⁰	4,8,12,20	0,8,12,16
30	4	W(H₄) = (SL₂(5)*SL₂(5)).Z₂ группа Коксетера [5,3,3],	14400	2⁶⁰	2,12,20,30	0,10,18,28
31	4	W(EN₄) = W(O₄) = (Z₄*2^{1 + 4}).Sp₄(2)	46080	2⁶⁰	8,12,20,24	0,12,16,28
32	4	W(L₄) = Z₃ × Sp₄(3), 3[3]3[3]3[3]3,	155520	3⁸⁰	12,18,24,30	0,6,12,18
33	5	W(K₅) = Z₂ ×Ω₅(3) = Z₂ × PSp₄(3)= Z₂ × PSU₄(2) [1 2 2]³,	51840	2⁴⁵	4,6,10,12,18	0,6,8,12,14
34	6	W(K₆)= Z₃.Ω− 6(3).Z₂, группа Митчела^[англ.] [1 2 3]³,	39191040	2¹²⁶	6,12,18,24,30,42	0,12,18,24,30,36
35	6	W(E₆) = SO₅(3) = O− 6(2) = PSp₄(3).Z₂ = PSU₄(2).Z₂, группа Вейля [3^2,2,1],	51840	2³⁶	2,5,6,8,9,12	0,3,4,6,7,10
36	7	W(E₇) = Z₂ ×Sp₆(2), группа Вейля [3^3,2,1],	2903040	2⁶³	2,6,8,10,12,14,18	0,4,6,8,10,12,16
37	8	W(E₈)= Z₂.O+ 8(2), группа Вейля [3^4,2,1],	696729600	2¹²⁰	2,8,12,14,18,20,24,30	0,6,10,12,16,18,22,28

Свойства

Конечная группа, действующая на комплексном векторном пространстве, является группой комплексных отражений тогда и только тогда, когда кольцо инвариантов является полиномиальным кольцом.

Если $\ell$ $\ell$ — ранг группы отражений, то степени $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$ $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$ образующих кольца инвариантов называются степенями W. Они перечислены в столбце выше столбце «степени». Многие другие инварианты группы определяются степенями:
- Центр неприводимой группы отражений является циклическим и его порядок равен наибольшему общему делителю степеней.
- Порядок группы отражений равен произведению его степеней.
- Число отражений группы равно сумме степеней минус ранг.
- Степени $d_{i}$ удовлетворяют следующему тождеству
  $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$
Каждая неприводимая группа комплексных отражений имеет минимальное число образующих, $n$ $n$ или $n+1$ $n+1$ отражений.
- Минимальное число образующих равно n эквивалентно тому, что $d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell }$ $d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell }$ для всех $i$ $i$ .
  - В частности, для группы $G(m,p,n)$ это выполняется только при р = 1 или m.

Ссылки

Broué, Michel; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1995), "On complex reflection groups and their associated braid groups", Representations of groups (Banff, AB, 1994) (PDF), CMS Conf. Proc., vol. 16, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 1—13, MR 1357192 Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
Broué, Michel; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1998), "Complex reflection groups, braid groups, Hecke algebras", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 500: 127—190, doi:10.1515/crll.1998.064, ISSN 0075-4102, MR 1637497
Deligne, Pierre (1972), "Les immeubles des groupes de tresses généralisés", Inventiones Mathematicae, 17 (4): 273—302, doi:10.1007/BF01406236, ISSN 0020-9910, MR 0422673
Hiller, Howard Geometry of Coxeter groups. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1982. iv+213 pp. ISBN 0-273-08517-4*
Lehrer, Gustav I.; Taylor, Donald E. (2009), Unitary reflection groups, Australian Mathematical Society Lecture Series, vol. 20, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-74989-3, MR 2542964
Shephard, G. C.; Todd, J. A. (1954), "Finite unitary reflection groups", Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques, 6, Canadian Mathematical Society: 274—304, doi:10.4153/CJM-1954-028-3, ISSN 0008-414X, MR 0059914
Coxeter, Finite Groups Generated by Unitary Reflections, 1966, 4. The Graphical Notation, Table of n-dimensional groups generated by n Unitary Reflections. pp. 422-423