Гравитационное красное смещение (Ijgfnmgenkuuky tjgvuky vbypyuny)

Схема эффекта изменения частоты испущенного источником электромагнитных волн по мере удаления от массивных объектов

Гравитационное красное смещение — проявление эффекта изменения частоты испущенного некоторым источником света (любых электромагнитных волн) по мере удаления от массивных объектов, таких как звёзды и чёрные дыры; оно наблюдается как сдвиг спектральных линий в излучении источников, близких к массивным телам, в красную область спектра. Свет, приходящий из областей с более слабым гравитационным полем, испытывает гравитационное синее смещение.

Эффекты смещения не ограничиваются исключительно электромагнитным излучением, а проявляются во всех периодических процессах — вдали от массивного объекта де-бройлевские частоты элементарных частиц (фотонов, электронов, протонов) выше, чем на его поверхности, и все процессы идут с большей скоростью. Данный эффект является одним из частных проявлений гравитационного замедления времени.

Определение

Гравитационное красное смещение принято обозначать символом $z_{G}$ :

$z_{G}={\frac {\lambda -\lambda _{0}}{\lambda _{0}}}={\frac {\nu _{0}-\nu }{\nu }}$ ,

где:

$\nu$ и $\lambda$ — измеренная частота и длина волны фотона,

$\nu _{0}$ и $\lambda _{0}$ — лабораторная частота и длина волны фотона.

Гравитационное красное смещение было предсказано А. Эйнштейном (1911) при разработке общей теории относительности (ОТО), и в слабых гравитационных полях приблизительно равно

$z_{G}={\frac {\varphi -\varphi _{0}}{c^{2}}}={\frac {GM}{c^{2}r}}-{\frac {GM}{c^{2}R}}$ ,

где:

$z_{G}$ — относительное смещение спектральных линий под влиянием гравитации,

$\varphi =-{\frac {GM}{R}}$ и $\varphi _{0}=-{\frac {GM}{r}}$ — значения гравитационного потенциала в точках наблюдения и излучения соответственно,

$G$ — гравитационная постоянная Ньютона;

$M$ — масса гравитирующего тела,

$c$ — скорость света,

$r$ — радиальное расстояние от центра масс тела до точки излучения,

$R$ — радиальное расстояние от центра масс тела до точки наблюдения.

Для света, излучаемого на расстоянии $r$ от центра масс массивного тела и принимаемого на бесконечности ($R=\infty$), гравитационное красное смещение приблизительно равно:

$z_{G}={\frac {GM}{c^{2}r}}.$

Поскольку первая космическая скорость на расстоянии $r$ от тела массой $M$ равна

$V_{I}={\sqrt {\frac {GM}{r}}},$ то формула для красного смещения может принять следующий вид:

$z_{G}={\frac {V_{I}^{2}}{c^{2}}}.$

Универсальная формула для изменения частоты, приложимая в любой метрической теории гравитации в условиях применимости приближения геометрической оптики (эйконала):

${\frac {\nu _{r}}{\nu _{e}}}={\frac {s_{e}}{s_{r}}}={\frac {{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {k}}_{r}}{{\vec {u}}_{e}\cdot {\vec {k}}_{e}}},$

где

$\nu _{r}$ и $\nu _{e}$ — частоты принятого (recieved) и излучённого (emitted) сигнала, соответственно,

$s_{r}$ и $s_{e}$ — собственные времена колебаний,

$u_{r}$ и $u_{e}$ — 4-скорости приёмника и источника, а

$k_{r}$ и $k_{e}$ представляют собой касательный светоподобный вектор (волновой 4-вектор сигнала), параллельно перенесённый вдоль траектории распространения сигнала.

История

Ослабление энергии света, излучаемого звёздами с сильной гравитацией, было предсказано Джоном Митчеллом ещё в 1783 году, на основе корпускулярного представления о свете, которого придерживался Исаак Ньютон. Влияние гравитации на свет исследовали в своё время Пьер-Симон Лаплас и Иоганн фон Зольднер (1801 год) задолго до того, как Альберт Эйнштейн в статье 1911 года о свете и гравитации вывел свой вариант формулы для этого эффекта.

Филипп Ленард обвинил Эйнштейна в плагиате за то, что он не процитировал более раннюю работу Зольднера — однако, принимая во внимание, насколько эта тема была забыта и заброшена до того момента, как Эйнштейн вернул её к жизни, практически не подлежит сомнению, что Эйнштейн не был знаком с предыдущими работами. В любом случае, Эйнштейн пошёл намного дальше своих предшественников и показал, что ключевым следствием из гравитационного красного смещения является гравитационное замедление времени. Это была очень оригинальная и революционная идея. Эйнштейн впервые предположил, что потерю энергии фотоном при переходе в область с более высоким гравитационным потенциалом можно объяснить через разность хода времени в точках приёма и передачи сигнала. Энергия кванта электромагнитного излучения пропорциональна его частоте согласно формуле $E=\hbar \omega ,$ где $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка. Таким образом, если время для приёмника и передатчика течёт с разной скоростью, наблюдаемая частота излучения, а вместе с ней и энергия отдельных квантов, тоже будет различной для приёмника и передатчика. В 2010 году физикам удалось измерить эффект замедления в лабораторных условиях.

Важные моменты

• Для наблюдения гравитационного красного смещения приёмник должен находиться в месте с более слабым гравитационным потенциалом, чем источник.
• Существование гравитационного красного смещения подтверждается многочисленными экспериментами, которые год от года проводятся в различных университетах и лабораториях по всему миру.
• Гравитационное красное смещение предсказывается не только в теории относительности. Другие теории гравитации тоже предсказывают гравитационное красное смещение, хотя объяснения могут отличаться.
• Гравитационное красное смещение проявляется, но не ограничивается Шварцшильдовским решением уравнений общей теории относительности — при этом масса $M$, указанная ранее, может быть массой вращающегося или заряженного тела.

Экспериментальное подтверждение

Эксперимент Паунда и Ребки 1960 года продемонстрировал существование гравитационного красного смещения спектральных линий. Эксперимент был осуществлён в башне Лаймановской лаборатории физики Гарвардского университета с использованием эффекта Мёссбауэра; источник и поглотитель гамма-квантов (ядра железа-57) находились друг от друга на расстоянии 22,5 м по вертикали в гравитационном поле Земли. Относительный сдвиг частоты в этих условиях составлял 2,57⋅10⁻¹⁵.

Применение

Гравитационное красное смещение активно применяется в астрофизике. Релятивистская поправка на гравитационное красное смещение вводится в бортовые часы спутников глобальных систем позиционирования GPS и ГЛОНАСС.

Связь с замедлением времени

Гравитационное замедление времени — физическое явление, заключающееся в изменении темпа хода времени (и, соответственно, часов) в гравитационном потенциале. Основная сложность в восприятии этого обстоятельства состоит в том, что в теориях гравитации временная координата обычно не совпадет с физическим временем, измеряемым стандартными атомными часами.

При использовании формул общей теории относительности для расчёта изменения энергии и частоты сигнала (при условии, что мы пренебрегаем эффектами зависимости от траектории, вызванными, например, увлечением пространства вокруг вращающейся чёрной дыры) гравитационное красное смещение в точности обратно величине фиолетового смещения. Таким образом, наблюдаемое изменение частоты соответствует относительной разности скорости хода часов в точках приёма и передачи.

В то время как гравитационное красное смещение измеряет наблюдаемый эффект, гравитационное замедление времени говорит, что можно заключить на основании результатов наблюдения. То есть, говоря иными словами: измеряя единое красное/фиолетовое смещение для любого способа посылки сигналов «оттуда»—"сюда", мы приходим к выводу, что одинаковые с нашими часы там идут «как-то не так», быстрее или медленнее.

Для статического гравитационного поля, гравитационное красное смещение можно полностью объяснить разностью темпа хода времени в точках с различным гравитационным потенциалом. Процитируем Вольфганга Паули: «В случае статического гравитационного поля всегда можно так выбрать временную координату, чтобы величины g_ik от неё не зависели. Тогда число волн светового луча между двумя точками P1 и P2 также будет независимым от времени и, следовательно, частота света в луче, измеренная в заданной шкале времени, будет одинаковой в P1 и P2 и, таким образом, независимой от места наблюдения.»

Однако согласно современной метрологии время определяют локально для произвольной мировой линии наблюдателя (в частном случае — для одной и той же точки пространства с течением времени) через тождественные атомные часы (см. определение секунды). При таком определении времени темп хода часов строго задан и будет различаться от линии к линии (от точки к точке), в результате чего имеющаяся разность частот, например, в опыте Паунда — Ребки, или красное смещение спектральных линий, излучённых с поверхности Солнца или нейтронных звёзд, находит своё объяснение в разности темпа хода физического времени (измеряемого стандартными атомными часами) между точками излучения и приёма. В самом деле, так как скорость света считается постоянной величиной, то длина волны жёстко связана с частотой $\lambda =cT=c/\nu$, поэтому изменение длины волны равносильно изменению частоты и обратно.

Если в некоторой точке излучаются, например, сферические вспышки света, то в любом месте в области с гравитационным полем координатные «временные» интервалы между вспышками можно сделать одинаковыми — путём соответствующего выбора временной координаты. Реальное же изменение измеряемого временного интервала определяется разностью темпа хода стандартных тождественных часов между мировыми линиями излучения и приёма. При этом в статическом случае абсолютно неважно, чем конкретно ведётся передача сигналов: световыми вспышками, горбами электромагнитных волн, акустическими сигналами, пулями или бандеролями по почте — все способы передачи будут испытывать абсолютно одинаковое «красное/фиолетовое смещение».

В нестационарном же случае вообще точным и инвариантным образом отделить «гравитационное» смещение от «доплеровского» невозможно, как например, в случае расширения Вселенной. Эти эффекты — одной природы, и описываются общей теорией относительности единым образом. Некоторое усложнение явления красного смещения для электромагнитного излучения возникает при учёте нетривиального распространения излучения в гравитационном поле (эффекты динамического изменения геометрии, отклонений от геометрической оптики, существования гравитационного линзирования, гравимагнетизма, увлечения пространства и так далее, которые делают величину смещения зависящей от траектории распространения света), но эти тонкости не должны затенять исходной простой идеи: скорость хода часов зависит от их положения в пространстве и времени.

В ньютоновской механике объяснение гравитационного красного смещения принципиально возможно — опять-таки через введение влияния гравитационного потенциала на ход часов, но это очень сложно и непрозрачно с концептуальной точки зрения. Распространённый способ выведения красного смещения как перехода кинетической энергии света $E=\hbar \omega$ в потенциальную в самой основе апеллирует к теории относительности и не может рассматриваться как правильный. В эйнштейновской теории гравитации красное смещение объясняется самим гравитационным потенциалом: это не что иное, как проявление геометрии пространства-времени, связанной с относительностью темпа хода физического времени.

Вывод на основе принципа эквивалентности

Гравитационное красное смещение является следствием принципа эквивалентности.

Рассмотрим сначала распространение фотона в однородном гравитационном поле вдоль линий напряжённости поля из точки с меньшим потенциалом гравитационного поля в точку с большим потенциалом. Согласно принципу эквивалентности, наличие гравитационного поля напряжённости $g$ в инерциальной системе отсчёта эквивалентно ускоренному движению системы отсчёта с ускорением $-g$ в отсутствие гравитационного поля. То есть в данном опыте можно заменить наличие поле тяготения предположением о движении источника и приёмника с ускорением $a=-g$, которое направлено вверх. Если считать, что излучение волны с частотой $\nu$ происходит в тот момент, когда скорость источника равна нулю, то спустя время $\Delta t={\frac {h}{c}}$, когда волна достигнет приёмника, его скорость будет равна $v=g\Delta t={\frac {gh}{c}}$. При вычислении относительной скорости $v$ в формуле эффекта Доплера ${\frac {\Delta \nu }{\nu }}={\frac {v}{c}}$ скорость источника следует брать в момент излучения, а скорость приёмника — в момент прихода волны. Поэтому использование этой формулы показывает, что вследствие эффекта Доплера будет наблюдаться сдвиг частоты, равный

${\frac {\Delta \nu }{\nu }}=-{\frac {gh}{c^{2}}}.$

Обобщение этой формулы для случая неоднородного гравитационного поля имеет вид

${\frac {\Delta \nu }{\nu }}=-\int _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {g(x)}{c^{2}}}dx.$

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона $g(x)=G{\frac {M}{x^{2}}}$. Таким образом

${\frac {\Delta \nu }{\nu }}=-\int _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {G{\frac {M}{x^{2}}}}{c^{2}}}dx=-{\frac {GM}{c^{2}}}\left({\frac {1}{r_{0}}}-{\frac {1}{r_{1}}}\right).$

Эвристический вывод гравитационного красного смещения из метрических свойств пространства-времени

Ускоренная лаборатория, состоящая из источника пуль и приёмника

Гравитационное красное смещение можно получить, используя закон сложения скоростей.

Рассмотрим установку, состоящую из источника сигнала (к примеру, пуль) и приёмника. Расстояние между ними, измеренное в неподвижной системе отсчёта, обозначим $l$. При этом установка двигается в пустоте с постоянным ускорением ${\vec {a}}$ относительно неподвижной системы отсчёта, что, согласно принципу эквивалентности, равнозначно помещению установки в однородное гравитационное поле.

Далее, поместим в приёмник и источник одинаковые часы $\tau _{out}=\tau _{in}$, и попросим наблюдателя, который находится в точке «приёмника», сравнить их ход. Своё собственное время $\tau _{in}$ он измерит непосредственно, а чтобы измерить ход времени в точке «источника», он будет измерять частоту приходящего сигнала. Скорость пули относительно «источника» обозначим как $w$, скорость самого источника в момент посылки сигнала $v.$ Тогда, пользуясь законом сложения скоростей, получаем скорость пули $u$ в неподвижной системе:

$u={\frac {w+v}{1+wv/c^{2}}}={\frac {c^{2}(w+v)}{c^{2}+wv}}.\qquad (1)$

На преодоление расстояния $l$ сигнал затратит время $t,$ а приемник за это время сместится на $vt+at^{2}/2.$ Отсюда получаем уравнение:

$ut=l+vt+at^{2}/2,$

решив которое относительно $t,$ получим:

$t={\frac {u-v}{a}}\cdot \left[1\pm \left(1-{\frac {2al}{(u-v)^{2}}}\right)^{-1/2}\right]$

или приближённо:

$t={\frac {u-v}{a}}\cdot \left[1\pm \left(1+{\frac {la}{(u-v)^{2}}}+\cdots \right)\right].$

Таким образом, приходим к двум решениям:

$t_{1}=-{\frac {l}{u-v}},\qquad t_{2}=2{\frac {u-v}{a}}+{\frac {l}{u-v}}.$

Очевидно, что первое решение в данном случае — лишнее.

Подставим $u$ из формулы (1) в формулу для $t$ и при этом ограничимся $w$ и $v$ столь малыми, чтобы мы могли отбросить малые члены порядка $w^{2}$ и $v^{2}:$

$t={\frac {l(c^{2}+wv)}{wc^{2}}}=l\left({\frac {1}{w}}+{\frac {v}{c^{2}}}\right).$

Скорость установки за время $\tau$, разделяющее посылку двух последовательных сигналов, увеличится на $a\tau$ и станет равной $v+a\tau$. Поэтому разница во времени прохождения двух последовательных сигналов составит:

$\Delta t=\Delta \tau =l\left({\frac {1}{w}}+{\frac {v+a\tau _{0}}{c^{2}}}\right)-l\left({\frac {1}{w}}+{\frac {v}{c^{2}}}\right)={\frac {al\tau _{0}}{c^{2}}},$

и в итоге

${\frac {\Delta \tau }{\tau _{0}}}={\frac {al}{c^{2}}}\Longleftrightarrow \tau _{1}=\tau _{0}\left(1+{\frac {al}{c^{2}}}\right).$

Изменениями $l$ и $\tau$ (функции скорости) мы пренебрегли, как величинами соответствующего порядка малости.

Итак, часы идут медленнее, если они установлены вблизи весомых масс. Отсюда следует, что спектральные линии света, попадающего к нам с поверхности больших звёзд, должны сместиться к красному концу спектра.А. Эйнштейн

Для частоты получим:

${\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}={\frac {al}{c^{2}}}\Longleftrightarrow \nu _{1}=\nu _{0}\left(1-{\frac {al}{c^{2}}}\right).$

Обозначив разность гравитационных потенциалов на поверхности звезды и поверхности Земли как $\Delta \Phi =-al,$ получим:

$\tau _{1}=\tau _{0}\left(1-{\frac {\Delta \Phi }{c^{2}}}\right);\qquad \nu _{1}=\nu _{0}\left(1+{\frac {\Delta \Phi }{c^{2}}}\right).$

Эти выражения были выведены Эйнштейном в 1907 году для случая $\Delta \Phi /c^{2}\ll 1$.

Литература

• Окунь Л. Б., Селиванов К. Г., Телегди В. Л. Гравитация, фотоны, часы // УФН, 1999, том 169, № 10, с. 1141—1147.
• Паунд Р. В. О весе фотонов // УФН, 1960, № 12, том 73, с. 673—683.
• Laplace, Pierre-Simon. The system of the world (English translation 1809) (англ.). — London: Richard Phillips, 1796. — Vol. 2. — P. 366—368.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald. Gravitation. — San Francisco: W. H. Freeman, 1973. — ISBN 978-0-7167-0344-0.

Ссылки

• Michell, John. On the means of discovering the distance, magnitude etc. of the fixed stars (англ.) // Philosophical Transactions of the Royal Society : journal. — 1784. — Vol. 74. — P. 35—57. — doi:10.1098/rstl.1784.0008. — .
• Soldner, Johann Georg von. On the deflection of a light ray from its rectilinear motion, by the attraction of a celestial body at which it nearly passes by (англ.) // Berliner Astronomisches Jahrbuch : journal. — 1804. — P. 161—172.
• Pound, R.V.; Rebka, G.A.; Jr. Gravitational Red-Shift in Nuclear Resonance (англ.) // Phys. Rev. Lett.. — 1959. — Vol. 3, no. 9. — P. 439—441. — doi:10.1103/physrevlett.3.439. — .
• Pound, R.V.; Snider, J.L. Effect of gravity on gamma radiation (англ.) // Physical Review B. — 1965. — Vol. 140, no. 3B. — P. 788—803. — doi:10.1103/physrev.140.b788. — .
• Pound, R.V. Weighing Photons" (2000) (англ.) // Classical and Quantum Gravity. — 2000. — Vol. 17, no. 12. — P. 2303—2311. — doi:10.1088/0264-9381/17/12/301. — .