Гипотеза Эрдёша — Грэма (Inhkmy[g |j;~og — Ijzbg)

Гипотеза Эрдёша — Грэма — предположение в комбинаторной теории чисел относительно проблемы разбиения множества целых чисел, больших единицы, на конечное число подмножеств, одно из которых можно использовать для образования египетской дроби, представляющей единицу. Эрдёш и Грэм высказали предположение, что для любого $r>0$ и любой $r$-раскраски целых чисел, больших единицы, имеется конечное одноцветное подмножество $S$ этих целых чисел, такое что:

$\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1$,

и максимальный элемент множества $S$ можно ограничить значением $b^{r}$ с некоторой константой $b$, независимой от $r$. Известно, что для верности этого утверждения необходимо, чтобы $b$ было не меньше числа $e$.

Гипотеза доказана Эрнестом Крутом (англ. Ernest S. Croot, III) в 2003 году, установленная оценка $b$ очень велика — число должно быть не больше $e^{167000}$. Результат Крута вытекает из более общей теоремы, утверждающий о существовании представления единицы в виде египетской дроби для множеств $C$ гладких чисел в интервалах вида $[X,X^{1+\delta }]$, где $C$ содержит достаточно много чисел, сумма обратных величин которых не меньше шести. Гипотеза Эрдёша — Грэма выводится из этого результата путём нахождения интервала, в котором сумма обратных величин всех гладких чисел будет как минимум $6r$. Таким образом, если целые числа $r$-раскрашены, должно существовать одноцветное подмножество $C$, удовлетворяющее условию теоремы Крута.

Ссылки

• Croot, Ernest S., III. Unit Fractions. — University of Georgia, Athens, 2000.
• Croot, Ernest S., III. On a coloring conjecture about unit fractions // Annals of Mathematics. — 2003. — Т. 157, вып. 2. — С. 545—556. — doi:10.4007/annals.2003.157.545. — arXiv:math.NT/0311421.
• Пал Эрдёш, Рональд Л. Грэм. Old and new problems and results in combinatorial number theory // L’Enseignement Mathématique. — 1980. — Т. 28. — С. 30—44.
• Ernie Croot’s Webpage Архивная копия от 9 апреля 2009 на Wayback Machine