Гипотеза Борсука (Inhkmy[g >kjvrtg)

Разрезания отрезка, треугольника и тетраэдра на части меньшего диаметра.

Гипотеза Бо́рсука (проблема Борсука) — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии:

Возможно ли произвольное тело конечного единичного диаметра в $n$ -мерном евклидовом пространстве разбить на не более чем $n+1$ часть так, что диаметр каждой части будет меньше 1?

Выдвинута Каролем Борсуком в 1933 году. Сыграла значительную роль в развитии комбинаторной геометрии XX века: в течение длительного периода гипотеза подтверждалась для ряда частных случаев➤ и основные усилия были направлены на поиск доказательства в общем случае, поскольку весомых сомнений в её справедливости не возникало^[1]. Однако в 1993 году был найден контрпример➤.

По состоянию на 2023 год доказано, что гипотеза верна при $n\leqslant 3$ , и неверна для $n\geqslant 64$ , вопрос остаётся открытым для $4\leqslant n\leqslant 63$ .

Положительные решения

Разрезание правильного шестиугольника ширины 1 на 3 части диаметра меньше 1.

Случай $n=1$ очевиден. Случай $n=2$ был доказан самим Борсуком в 1933 году, он воспользовался результатом Дьюлы Пала^[венг.] 1929 года, согласно которому любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник ширины 1, а такой шестиугольник в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}<1$ . Кроме того, Борсук доказал, что $n$ -мерный шар нельзя разделить на $n$ частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей (доказательство основано на теореме Борсука — Улама).

В 1946 году Хадвигер доказал справедливость гипотезы при всех $n$ для выпуклых тел с гладкой границей^[2].

В 1947 году Юлиан Перкаль^[пол.] доказал случай $n=3$ для всех ограниченных тел^[3], независимо от него в 1955 году этот же результат получил британский математик Эгглстон; простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено несколько позже Бранко Грюнбаумом и Альдаром Хеппешем; они доказывают, что любое тело диаметра 1 можно поместить в определённый октаэдр с отсечёнными тремя вершинами, который в свою очередь допускает разбиение на 4 части диаметра меньше 0,9888.

По меньшей мере с начала 1970-х годов гипотеза подтверждена для центрально-симметричных тел. В 1971 году Клод Роджерс доказал гипотезу для всякого множества, инвариантного относительно действия группы преобразований, оставляющих на месте правильный $n$ -мерный симплекс.

В 1993 году Борис Декстер установил справедливость гипотезы для выпуклых тел с поясом из регулярных точек.^[4] В 1995 году им же дан положительный ответ для всех тел вращения в произвольных размерностях^[5].

Число Борсука

Число Борсука $f(n)$ — наименьшее число возможных частей меньшего диаметра, на которые можно разбить всякое ограниченное тело в $n$ -мерном пространстве. Параллельно с подтверждением гипотезы $f(n)=n+1$ в частных случаях, улучшались нижние и верхние оценки для $f(n)$ . Сравнительно легко получены оценки $f(n)\leqslant (2{\sqrt {n}}+1)^{n}$ и $f(n)\leqslant 2^{n}$ . В 1983 году Маршалл Лассак установил, что $f(n)\leqslant 2^{n-1}+1$ .

Среди асимптотических верхних оценок долгое время лучшей была оценка Клода Роджерса (англ. Claude Ambrose Rogers; 1965): $f(n)\leqslant {\big (}{\sqrt {2}}+o(1){\big )}^{n}$ ; в 1988 году Одед Шрамм установил, что:

f(n)\leqslant {\Big (}{\sqrt {\tfrac {3}{2}}}+o(1){\Big )}^{n}

.

Отрицательные решения

Отрицательное решение проблемы в общем случае выявлено в 1993 году Гилем Калаем (англ. Gil Kalai) и Джеффом Каном (англ. Jeff Kahn)^[6], построившими контрпример в размерности $n=1325$ и доказавшими невыполнение гипотезы для всех $n>2014$ . Кроме того, они показали, что для достаточно больших $n$ существуют $n$ -мерные тела, которые нельзя разбить на ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}$ частей меньшего диаметра. В последующие годы размерность, выше которой гипотеза не выполняется, последовательно снижалась:

1993 — $n\geqslant 2015$ (Калай — Кан),
1994 — $n\geqslant 946$ (Нилли),
1997 — $n\geqslant 903$ (Вайссбах — Грей),
1997 — $n\geqslant 561$ (Райгородский)^[7],
2000 — $n\geqslant 560$ (Вайссбах),
2001 — $n\geqslant 324$ (Хинрихс),
2002 — $n\geqslant 323$ (Пихурко),
2003 — $n\geqslant 298$ (Хинрихс — Рихтер)^[8],
2013 — $n\geqslant 65$ (Бондаренко)^[9],
2013 — $n\geqslant 64$ (Йенрих)^[10].

Для построения контпримеров во всех случаях использовались конечные множества и использованы тонкие комбинаторные результаты^[11]. Нижние оценки для минимального числа частей меньшего диаметра в большинстве контрпримеров — ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}$ , в одном из результатов Райгородского (1999) эта оценка улучшена до ${\big (}1{,}2255+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}$ .

Вариации и обобщения

В 1953 году Дэвид Гейл выдвинул гипотезу, что любое тело единичного диаметра в трёхмерном пространстве допускает разбиение на 4 части с диаметром:

{\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}}\approx 0{,}888

,

то есть шар является «наихудшим» в этом смысле телом^[12].

В 1971 году гипотеза Борсука подтверждена для сферического и гиперболического пространств при $n=2,3$ ^[13].

В 1991 году этот результат обобщён на произвольные размерности для центрально-симметрических выпуклых гиперповерхностей^[14].

В 2012 году изучены аналоги проблемы Борсука в пространстве $\mathbb {Q} ^{n}$ с евклидовой метрикой и с метрикой $l_{p}$ ^[15].

В 2019 году рассмотрен вопрос о разбиении произвольных ограниченных метрических пространств на заданное количество подмножеств меньшего диаметра, и выявлены критерии осуществимости и неосуществимости такого разбиения в зависимости от расстояния по метрике Громова — Хаусдорфа от заданного пространства до симплексов заданной мощности, где под симплексом понимается метрическое пространство, в котором все ненулевые расстояния одинаковы^[16].

Примечания

↑ Райгородский, 2006, с. 27.
↑ Болтянский — Гохберг, 1965, с. 34.
↑ Грюнбаум, 1971, с. 62.
↑ B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for convex bodies with a belt of regular points // Geometriae Dedicata. — 1993. — Т. 45. — С. 301–306.
↑ B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for bodies of revolution // Journal of Geometry. — 1995. — Т. 52. — С. 64–73.
↑ J. Kahn, G. Kalai. A counterexample to Borsuk’s conjecture (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — 1993. — Vol. 29, no. 1. — P. 60—62. — arXiv:math.MG/9307229.
↑ А. М. Райгородский. О размерности в проблеме Борсука // УМН. — 1997. — Т. 52, № 6(318). — С. 181—182.
↑ A. Hinrichs, C. Richter. New sets with large Borsuk numbers // Discrete Mathematics. — 2003. — Т. 270. — С. 137—147. Архивировано 27 сентября 2007 года.
↑ Andriy V. Bondarenko. On Borsuk’s conjecture for two-distance sets. — 2013. — arXiv:1305.2584.
↑ Thomas Jenrich. A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture. — 2013. — arXiv:1308.0206.
↑ Райгородский, 2006.
↑ Райгородский, 2006, с. 16.
↑ А. С. Рисслинг. Проблема Борсука в пространствах постоянной кривизны // Украинский геометрический сборник. — Харьков. — Т. 11. — С. 78—83. Архивировано 9 января 2021 года.
↑ А. Д. Милка. Аналог проблемы Борсука // Известия вузов. Серия математическая. — 1992. — № 5. — С. 58—63.
↑ А. Б. Купавский, Е. И. Пономаренко, А. М. Райгородский. О некоторых аналогах проблемы Борсука в пространстве $\mathbb {Q} ^{n}$ // Труды МФТИ. — 2012. — Т. 12, № 1. — С. 81—90.
↑ А. О. Иванов, А. А. Тужилин. Solution to Generalized Borsuk Problem in Terms of the Gromov–Hausdorff Distances to Simplexes. — arXiv:1906.10574v1.

Литература

В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М.: Наука, 1965. — 108 с. — (Математическая библиотечка). (содержит доказательство гипотезы в размерностях 2 и 3)
В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Разбиение фигур на меньшие части/ серия = Популярные лекции по математике, выпуск 50. — М.: Наука, 1971. — 88 с.
Б. Грюнбаум. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — М.: Наука, 1971.
А. М. Райгородский. Проблема Борсука. — М.: МЦНМО, 2006. — 56 с.
А. Б. Скопенков. $n$ -мерный куб, многочлены и решение проблемы Борсука // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 1999. — Вып. 3 (3).

[_c2351d91e26706d0-1] Райгородский, 2006, с. 27.

[_97dde9d0e522b171-2] Болтянский — Гохберг, 1965, с. 34.

[_4e66969230f97c78-3] Грюнбаум, 1971, с. 62.

[4] B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for convex bodies with a belt of regular points // Geometriae Dedicata. — 1993. — Т. 45. — С. 301–306.

[5] B. V. Dekster. The Borsuk conjecture holds for bodies of revolution // Journal of Geometry. — 1995. — Т. 52. — С. 64–73.

[6] J. Kahn, G. Kalai. A counterexample to Borsuk’s conjecture (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — 1993. — Vol. 29, no. 1. — P. 60—62. — arXiv:math.MG/9307229.

[7] А. М. Райгородский. О размерности в проблеме Борсука // УМН. — 1997. — Т. 52, № 6(318). — С. 181—182.

[8] A. Hinrichs, C. Richter. New sets with large Borsuk numbers // Discrete Mathematics. — 2003. — Т. 270. — С. 137—147. Архивировано 27 сентября 2007 года.

[9] Andriy V. Bondarenko. On Borsuk’s conjecture for two-distance sets. — 2013. — arXiv:1305.2584.

[10] Thomas Jenrich. A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture. — 2013. — arXiv:1308.0206.

[_1e646cfac1c98f75-11] Райгородский, 2006.

[_c2351e91e26708ac-12] Райгородский, 2006, с. 16.

[13] А. С. Рисслинг. Проблема Борсука в пространствах постоянной кривизны // Украинский геометрический сборник. — Харьков. — Т. 11. — С. 78—83. Архивировано 9 января 2021 года.

[14] А. Д. Милка. Аналог проблемы Борсука // Известия вузов. Серия математическая. — 1992. — № 5. — С. 58—63.

[15] А. Б. Купавский, Е. И. Пономаренко, А. М. Райгородский. О некоторых аналогах проблемы Борсука в пространстве $\mathbb {Q} ^{n}$ // Труды МФТИ. — 2012. — Т. 12, № 1. — С. 81—90.

[16] А. О. Иванов, А. А. Тужилин. Solution to Generalized Borsuk Problem in Terms of the Gromov–Hausdorff Distances to Simplexes. — arXiv:1906.10574v1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]