Внешняя алгебра (Fuyouxx gliyQjg)

Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Впервые введена Грассманом в 1844 году.

Внешняя алгебра над пространством $V$ обычно обозначается ${\textstyle \bigwedge }V$ . Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.

Определение и связанные понятия

Внешней алгеброй ${\textstyle \bigwedge }V$ векторного пространства $V$ над полем $K$ называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры $T(V)$ по двустороннему идеалу $I$ , порождённому элементами вида $x\otimes x,x\in V$ :

{\textstyle \bigwedge }V=T(V)/I

.

Если характеристика поля $\operatorname {char} (K)\neq 2$ , то идеал $I$ в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида $x\otimes y+y\otimes x$ .

Умножение $\wedge$ в такой алгебре при этом называют внешним произведением. По построению оно антикоммутативно:

x\wedge y=-(y\wedge x).

k-й внешней степенью пространства $V$ называют векторное пространство $\wedge ^{k}V$ , порождённое элементами вида

x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k,

причём $\dim {\textstyle \bigwedge }^{k}V={\binom {n}{k}}\,$ и ${\textstyle \bigwedge }^{k}V$ = { 0 } при k > n.

Если $\dim V=n$ и { e₁, …, e_n } — базис $V$ , то базисом ${\textstyle \bigwedge }^{k}V$ является множество

\{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~k=1,2,\cdots ,n~~{\text{ и }}~~1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n\,\}.

Тогда

{\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V),

причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку: если $\alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{k}\left(V\right)$ и $\beta \in {\textstyle \bigwedge }^{p}\left(V\right)$ , то

\alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha \quad \in {\textstyle \bigwedge }^{k+p}\left(V\right).

Свойства

Элементы пространства ${\textstyle \bigwedge }^{r}V$ ${\textstyle \bigwedge }^{r}V$ называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над $V,$ $V,$ с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
- В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
  $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.$
- Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
  $(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.$
Внешний квадрат произвольного вектора $\omega \in \wedge ^{1}V$ нулевой:

\omega ^{\wedge 2}=\omega \wedge \omega =0.

Для r-векторов при чётном r это неверно. Например

(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4})^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.

Линейно независимые системы из $r$ -векторов $x_{1},\dots ,x_{r}$ и $y_{1},\dots ,y_{r}$ из $V$ порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда $r$ -векторы $x_{1}\wedge \dots \wedge x_{r}$ и $y_{1}\wedge \dots \wedge y_{r}$ пропорциональны.

Ссылки

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984.
Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — М.: Наука, 1977.

См. также