Взаимодействие четвёртой степени (F[gnbk;ywvmfny cymf~jmkw vmyhyun)
Взаимодействие четвёртой степени (фи-в-четвёртой теория, φ4-теория, четверное взаимодействие) — раздел квантовой теории поля, где скалярное поле обладает самодействием в виде φ4. Другие типы взаимодействий четвёртой степени можно найти в разделе четырёхфермионных взаимодействий. Классическое свободное скалярное поле удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона. Если скалярное поле обозначено , взаимодействие четвёртой степени добавляет потенциальную энергию поля в виде к лагранжевой плотности. Константа связи безразмерна в 4-мерном пространстве-времени.
В этой статье используется сигнатура пространства Минковского.
Лагранжиан для вещественного скалярного поля
[править | править код]Плотность лагранжиана для вещественного скалярного поля с взаимодействием четвёртой степени равна
Этот лагранжиан обладает глобальной симметрией отражения Z2 .
Лагранжиан для комплексного скалярного поля
[править | править код]Лагранжиан для комплексного скалярного поля можно обосновать следующим образом. Для двух скалярных полей и лагранжиан имеет вид
которое можно записать в более сжатой форме, вводя комплексное скалярное поле определяемое как
Выраженный в новых переменных (комплексного скалярного поля), приведённый выше лагранжиан принимает вид
что, таким образом, эквивалентно SO(2) модели вещественных скалярных полей , в чём можно убедиться, разложив комплексное поле по действительной и мнимой частям.
С участием вещественных полей, можно построить -модель с глобальной симметрией SO(N), заданной лагранжианом
Разложение комплексного поля на действительную и мнимую части показывает, что оно эквивалентно SO(2)-модели вещественных скалярных полей.
Во всех приведённых выше моделях константа связи должна быть положительной, так как в противном случае потенциал был бы неограничен снизу и устойчивого вакуума не существовало бы. Кроме того, интеграл Фейнмана по путям, обсуждаемый ниже, был бы плохо определён. В 4-х измерениях, теории имеют полюс Ландау. Это означает, что без обрезания на высоких энергиях перенормировка сделала бы эту теорию тривиальной.
Континуальный интеграл
[править | править код]Разложение по диаграммам Фейнмана можно также получить из через интеграл по траекториям[1]. Упорядоченные по времени вакуумные средние значения полиномов от φ, известные как n-частичные функции Грина, строятся путём интегрирования по всем возможным полям, нормированных значением вакуумного среднего без внешних полей,
Все эти функции Грина получаются путём разложения экспоненты по J(x)φ(x) в производящую функцию
Вращение Вика задаёт переход к мнимому времени. Затем изменение сигнатуры на (++++) даёт интеграл статистической механики φ4-теории по 4-мерному евклидову пространству,
Обычно это применяется к рассеянию частиц с фиксированными импульсами, и в этом случае полезно использовать преобразование Фурье, чир даёт
куда — дельта-функция Дирака.
Стандартный трюк для вычисления этого функционального интеграла состоит в том, чтобы записать его как произведение экспоненциальных множителей, схематично,
Вторые два экспоненциальных множителя можно разложить в степенной ряд, а комбинаторику этого разложения можно представить графически. Интеграл с λ = 0 рассматривают как произведение бесконечного числа элементарных интегралов Гаусса, а результат можно выразить в виде суммы диаграмм Фейнмана, рассчитанных с использованием следующих правил Фейнмана:
- Каждое поле в n -точечной евклидовой функции Грина представлена внешней линией на графике и связано с импульсом p.
- Каждая вершина представлена фактором -λ.
- При заданном порядке λk все диаграммы с n внешними линиями и k вершинами строятся так, что импульсы, входящие в каждую вершину, равны нулю. Каждая внутренняя линия представлена коэффициентом 1/(q2 + m2), где q — импульс, протекающий через эту линию.
- Любые неограниченные импульсы интегрируются по всем значениям.
- Результат делится на коэффициент симметрии, который представляет собой количество способов перестановки линий и вершин графа без изменения его связности.
- Не включать графы, содержащие «вакуумные пузыри», связные подграфы без внешних линий.
Последнее правило учитывает эффект деления на . Правила Фейнмана в пространстве Минковского аналогичны, за исключением того, что каждая вершина представлена , а каждая внутренняя линия представлена множителем i/(q2 — m2 + iε), где член ε представляет небольшое вращение Вика, необходимое для сходимости интеграла Гаусса в пространстве Минковского.
Перенормировка
[править | править код]Интегралы по неограниченным импульсам, называемые «петлевыми вкладами», на диаграммах Фейнмана обычно расходятся. Это обычно устраняется перенормировкой, которая представляет собой процедуру добавления расходящихся контрчленов к лагранжиану таким образом, что диаграммы, построенные из исходного лагранжиана и контрчленов, конечны[2]. При этом необходимо вводить масштаб перенормировки, от которого становятся зависимыми константа связи и масса. Именно эта зависимость приводит к упомянутому ранее полюсу Ландау и требует, чтобы обрезание приводило к конечным интегралам. В качестве альтернативы, если отсечение может уйти в бесконечность, полюса Ландау можно избежать, только если перенормированная связь стремится к нулю, что делает теорию тривиальной[3].
Спонтанное нарушение симметрии
[править | править код]Интересная особенность может возникнуть, если m2 становится отрицательным, но λ остаётся положительным. В этом случае вакуум состоит из двух состояний с наименьшей энергией, каждое из которых спонтанно нарушает глобальную симметрию Z2 исходной теории. Это приводит к появлению интересных коллективных состояний, таких как доменные стенки. В теории O(2) вакуум располагался бы на окружности, и выбор одного из них спонтанно нарушил бы симметрию O(2). Непрерывная нарушенная симметрия приводит к появлению новой частицы бозона Голдстоуна. Этот тип спонтанного нарушения симметрии является существенным компонентом механизма Хиггса[4].
Спонтанное нарушение дискретных симметрий
[править | править код]Простейшая релятивистская система, в которой наблюдается спонтанное нарушение симметрии, — это система с одним скалярным полем с лагранжианом
где и
Минимизируя потенциал по переменной приводит к
Теперь мы расширим поле вокруг этого минимального записав
и подставив в лагранжиан получим
где скаляр теперь имеет положительный массовый член.
Думая в терминах значений вакуумного среднего позволяет нам понять, что происходит с симметрией, когда она спонтанно нарушается. Исходный лагранжиан был инвариантным относительно симметрии . С
оба минимума, должно существовать два разных вакуума: с участием
Поскольку симметрия означает , это должно также относиться к . Два возможных вакуума для теории эквивалентны, но нужно выбрать один. Хотя кажется, что в новом лагранжиане симметрия исчезла, она всё ещё есть, но теперь она действует как Это общая черта спонтанно нарушенных симметрий: их нарушает вакуум, но в лагранжиане они фактически не нарушены, а просто скрыты и часто реализуются только нелинейным образом[5].
Точные решения
[править | править код]Существует множество точных классических решений уравнения движения теории, записанных в виде
что можно написать для безмассового, случай как[6]
где — эллиптическая функция Якоби и — константы интегрирования с учётом следующего дисперсионного соотношения
Интересно, что мы начали с безмассового уравнения, но точное решение описывает волну с законом дисперсии, соответствующим решению для массивного поля. Когда массовый член не равен нулю, получается
теперь дисперсионное соотношение
Наконец, для случая нарушения симметрии
существование и имеет место следующее дисперсионное соотношение
Эти волновые решения интересны тем, что, несмотря на то, что мы начали с уравнения с неправильным знаком массы, дисперсионное соотношение имеет правильный знак. Кроме того, функция Якоби не имеет действительных нулей, и поэтому поле никогда не равно нулю, а движется вокруг заданного постоянного значения, которое изначально выбрано для описания спонтанного нарушения симметрии.
Доказательство единственности можно получить, если учесть, что решение можно искать в виде , где . Тогда уравнение в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением, которое определяет эллиптическую функцию Якоби с удовлетворяющие правильному дисперсионному соотношению.
Примечания
[править | править код]- ↑ Ramond, Pierre. Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). — USA : Westview Press, 2001-12-21. — ISBN 0-201-30450-3..
- ↑ See the previous reference, or for more detail, Itzykson, Zuber. Quantum Field Theory / Zuber Itzykson, Jean-Bernard Zuber. — Dover, 2006-02-24..
- ↑ D. J. E. Callaway (1988). "Triviality Pursuit: Can Elementary Scalar Particles Exist?". Physics Reports. 167 (5): 241—320. Bibcode:1988PhR...167..241C. doi:10.1016/0370-1573(88)90008-7.
- ↑ A basic description of spontaneous symmetry breaking may be found in the previous two references, or most other Quantum Field Theory books.
- ↑ Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model, Chapter 28.1
- ↑ Marco Frasca (2011). "Exact Solutions of Classical Scalar Field Equations". Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 18 (2): 291—297. arXiv:0907.4053. Bibcode:2011JNMP...18..291F. doi:10.1142/S1402925111001441.
Литература
[править | править код]- 't Hooft, G., «The Conceptual Basis of Quantum Field Theory» (online version).
- Bazghandi, Mustafa (August 2019). "Lie symmetries and similarity solutions of phi-four equation". Indian Journal of Mathematics. 61 (2): 187—197.