Вейвлеты Добеши (Fywflymd :kQyon)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Wavelet_Db2.svg/220px-Wavelet_Db2.svg.png)
Вейвлеты Добеши (англ. Daubechies wavelet) — семейство ортогональных вейвлетов с компактным носителем, вычисляемым итерационным путём. Названы в честь математика из США, первой построившей данное семейство, Ингрид Добеши.
Построение вейвлетов Добеши
[править | править код]Для построения вейвлетов воспользуемся уравнением растяжения и вейвлет-уравнением:
Компактность носителя функций и может быть достигнута, если будет выбрано конечное число таким образом, чтобы была достигнута ортогональность и гладкость вейвлета, либо чтобы выполнялось условие моментов. Для области Фурье условие ортогональности и гладкости выглядит следующим образом:
где — тригонометрический полином, при условии моментов
для принимающий вид
Если положить, что — полином по , то условие нулевых моментов даёт , где — полином по .
Для поиска коэффициентов необходимо получить , выделив форму полинома . Из условия ортогональности и условия нулевых моментов следует, что
Разложив до порядка , получим явный вид полинома:
Путём спектрального разложения на множители можно извлечь корни из :
Искомые коэффициенты вейвлета будут являться коэффициентами при в обратном порядке.
Также для построения вейвлетов данного типа используется каскадный алгоритм. Он позволяет поточечно строить масштабирующую функцию по известным коэффициентам . На каждом шаге алгоритма функция уточняется по оси в 2 раза. Далее при необходимости применяется сглаживание . После этого, зная и , находится функция самого вейвлета .
Ортогональные нормированные коэффициенты Добеши низких порядков
[править | править код]D2 (Хаар) | D4 | D6 | D8 | D10 | D12 | D14 | D16 | D18 | D20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0.6830127 | 0.47046721 | 0.32580343 | 0.22641898 | 0.15774243 | 0.11009943 | 0.07695562 | 0.05385035 | 0.03771716 |
1 | 1.1830127 | 1.14111692 | 1.01094572 | 0.85394354 | 0.69950381 | 0.56079128 | 0.44246725 | 0.34483430 | 0.26612218 |
0.3169873 | 0.650365 | 0.8922014 | 1.02432694 | 1.06226376 | 1.03114849 | 0.95548615 | 0.85534906 | 0.74557507 | |
-0.1830127 | -0.19093442 | -0.03957503 | 0.19576696 | 0.44583132 | 0.66437248 | 0.82781653 | 0.92954571 | 0.97362811 | |
-0.12083221 | -0.26450717 | -0.34265671 | -0.31998660 | -0.20351382 | -0.02238574 | 0.18836955 | 0.39763774 | ||
0.0498175 | 0.0436163 | -0.04560113 | -0.18351806 | -0.31683501 | -0.40165863 | -0.41475176 | -0.35333620 | ||
0.0465036 | 0.10970265 | 0.13788809 | 0.1008467 | 6.68194092e-4 | -0.13695355 | -0.27710988 | |||
-0.01498699 | -0.00882680 | 0.03892321 | 0.11400345 | 0.18207636 | 0.21006834 | 0.18012745 | |||
-0.01779187 | -0.04466375 | -0.05378245 | -0.02456390 | 0.043452675 | 0.13160299 | ||||
4.71742793e-3 | 7.83251152e-4 | -0.02343994 | -0.06235021 | -0.09564726 | -0.10096657 | ||||
6.75606236e-3 | 0.01774979 | 0.01977216 | 3.54892813e-4 | -0.04165925 | |||||
-1.52353381e-3 | 6.07514995e-4 | 0.01236884 | 0.03162417 | 0.04696981 | |||||
-2.54790472e-3 | -6.88771926e-3 | -6.67962023e-3 | 5.10043697e-3 | ||||||
5.00226853e-4 | -5.54004549e-4 | -6.05496058e-3 | -0.01517900 | ||||||
9.55229711e-4 | 2.61296728e-3 | 1.97332536e-3 | |||||||
-1.66137261e-4 | 3.25814671e-4 | 2.81768659e-3 | |||||||
-3.56329759e-4 | -9.69947840e-4 | ||||||||
5.5645514e-5 | -1.64709006e-4 | ||||||||
1.32354367e-4 | |||||||||
-1.875841e-5 |
См. также
[править | править код]Ссылки
[править | править код]- Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets, SIAM 1992.
- Основы теории вейвлетов с пакетом Mathematica Wavelet Explorer (недоступная ссылка)
- Всплески Ингрид Добеши