Вейвлет Хаара (Fywflym }ggjg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Haar_wavelet.svg/250px-Haar_wavelet.svg.png)
Вейвлет Хаа́ра — один из первых и наиболее простых вейвлетов. Он основан на ортогональной системе функций, предложенной венгерским математиком Альфредом Хааром в 1909 году[1]. Вейвлеты Хаара ортогональны, обладают компактным носителем, хорошо локализованы в пространстве, но не являются гладкими. Впоследствии Ингрид Добеши стала развивать теорию ортогональных вейвлетов и предложила использовать функции, вычисляемые итерационным путём, названные вейвлетами Добеши.
Построение вейвлета Хаара
[править | править код]Родительская (материнская) вейвлет-функция с нулевым значением интеграла , определяющая детали сигнала, задается следующим образом:
Масштабирующая функция с единичным значением интеграла , определяющая грубое приближение (аппроксимацию) сигнала, постоянна:
Преобразование Хаара
[править | править код]Преобразование Хаара используется для сжатия входных сигналов, компрессии изображений, в основном цветных и черно-белых с плавными переходами. Идеален для картинок типа рентгеновских снимков. Данный вид архивации известен довольно давно и напрямую исходит из идеи использования когерентности областей. Степень сжатия задается и варьируется в пределах 5-100. При попытке задать больший коэффициент на резких границах, особенно проходящих по диагонали, проявляется «лестничный эффект» — ступеньки разной яркости размером в несколько пикселов.
Преобразование Хаара для одномерного сигнала
[править | править код]Пусть имеется одномерный дискретный входной сигнал . Каждой паре соседних элементов ставятся в соответствие два числа: и . Повторяя данную операцию для каждого элемента исходного сигнала, на выходе получают два сигнала, один из которых является огрубленной версией входного сигнала — , а второй содержит детализирующую информацию, необходимую для восстановления исходного сигнала. Аналогично, преобразование Хаара может быть применено к полученному сигналу и тд.
Пример
[править | править код]Пусть входящий сигнал представляется в виде строки из 8 значений яркости пикселов (): (220, 211, 212, 218, 217, 214, 210, 202). После применения преобразования Хаара получаются следующие две последовательности и : (215.5, 215, 215.5, 206) и (4.5, −3, 1.5, 4). Стоит заметить, что значения достаточно близки к 0. Повторяя операцию, применительно к последовательности , получаем: (215.25, 210.75) (0.25, 4.75).
На примере преобразования Хаара хорошо видна структура дискретного вейвлет-преобразования сигнала. На каждом шаге преобразования сигнал распадается на две составляющие: приближение с более низким разрешением (аппроксимацию) и детализирующую информацию.
Преобразование Хаара для двумерного сигнала
[править | править код]Двумерное преобразование Хаара — это не что иное, как композиция одномерных преобразований Хаара. Пусть двумерный входной сигнал представляется матрицей . После применения одномерного преобразования Хаара к каждой строке матрицы получаются две новые матрицы, строки которых содержат аппроксимированную и детализирующую часть строк исходной матрицы. Аналогично к каждому столбцу полученных матриц применяют одномерное преобразование Хаара и на выходе получают четыре матрицы, одна из которых является аппроксимирующей составляющей исходного сигнала, а три оставшиеся содержат детализирующую информацию — вертикальную, горизонтальную и диагональную.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionsysteme, Dissertation (Gottingen, 1909); Math. Ann., 69 (1910), 331—371, 71 (1912), 33—53
![]() | В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |