Биметрические теории гравитации (>nbymjncyvtny mykjnn ijgfnmgenn)
Биметрические теория гравитации — альтернативные теории гравитации, в которых вместо одного метрического тензора используются два или более. Часто вторая метрика вводится только при высоких энергиях, в предположении, что скорость света может зависеть от энергии. Наиболее известными примерами биметрических теорий являются теория Розена и релятивистская теория гравитации (последняя — в канонической трактовке).
Биметрическая теория Розена
[править | править код]В общей теории относительности предполагается, что расстояние между двумя точками в пространстве-времени определяется метрическим тензором. Уравнения Эйнштейна используются затем для расчёта формы метрики на основании распределения энергии.
Натан Розен (1940) предложил в каждой точке пространства-времени ввести в дополнение к риманову метрическому тензору евклидов метрический тензор . Таким образом, в каждой точке пространства-времени мы получаем две метрики:
Первый метрический тензор описывает геометрию пространства-времени и, таким образом, гравитационное поле. Второй метрический тензор относится к плоскому пространству-времени и описывает инерционные силы. Символы Кристоффеля, сформированные из и , обозначим и соответственно. определим таким образом, чтобы
Теперь возникают два вида ковариантного дифференцирования: -дифференцирование, основанное на — обозначается точкой с запятой (;), и 3-дифференцирование на основе — обозначается символом / (обычные частные производные обозначаются запятой (,)). и будут тензорами кривизны, рассчитываемыми из и соответственно. На основе вышеизложенного подхода, в том случае, когда описывает плоскую пространственно-временную метрику, тензор кривизны равен нулю.
Из (1) следует, что хотя и не являются тензорами, но — тензор, имеющий такую же форму, как , за исключением того, что обычная частная производная заменяется 3-ковариантной производной. Простой расчёт приводит к
Каждый член в правой стороне этого соотношения является тензором. Видно, что от общей теории относительности, можно перейти к новой теории, заменив на , обычное дифференцирование на 3-ковариантное дифференцирование, на , элемент интегрирования на , где , и . Необходимо отметить, что, как только мы ввели в теорию, то в нашем распоряжении оказывается большое число новых тензоров и скаляров. Таким образом, можно получить уравнения поля, отличающиеся от уравнений поля Эйнштейна.
Уравнение для геодезической в биметрической теории относительности (БТО) принимает форму
Из уравнений (1) и (2) видно, что можно считать, что описывает инерциальное поле, поскольку исчезает при помощи подходящего преобразования координат. Свойство же быть тензором не зависит от каких-либо систем координат, и, следовательно, можно полагать, что описывает постоянное гравитационное поле.
Розеном (1973) были найдены биметрические теории, удовлетворяющие принципу эквивалентности. В 1966 г. Розен показал, что введение плоской пространственной метрики в рамках общей теории относительности не только позволяет получить плотность энергии-импульса тензора гравитационного поля, но также позволяет получить этот тензор из вариационного принципа. Уравнение поля в БТО, полученное из вариационного принципа
где
или
и — тензор энергии-импульса. Вариационный принцип приводит также к связи
Поэтому из (3)
что подразумевает, что пробная частица в гравитационном поле движется по геодезической по отношению к . Физические следствия такой теории, впрочем, не отличаются от общей теории относительности.
При ином выборе исходных уравнений биметрические теории и ОТО различаются в следующих случаях:
- Распространение электромагнитных волн
- Внешнее поле звёзд высокой плотности
- Распространение интенсивных гравитационных волн через сильное статическое гравитационное поле.
Ссылки
[править | править код]- N. Rosen. General Relativity and Flat Space. I (англ.) // Phys. Rev. : journal. — 1940. — Vol. 57, no. 2. — P. 147—150. — doi:10.1103/PhysRev.57.147.
- N. Rosen. General Relativity and Flat Space. II (англ.) // Phys. Rev. : journal. — 1940. — Vol. 57, no. 2. — P. 150—153. — doi:10.1103/PhysRev.57.150.
- N. Rosen. A bi-metric theory of gravitation (англ.) // General Relativity and Gravitation : journal. — 1973. — Vol. 4, no. 6. — P. 435—447. — doi:10.1007/BF01215403. (недоступная ссылка)
- N. Rosen. A bi-metric theory of gravitation. II (англ.) // General Relativity and Gravitation : journal. — 1975. — Vol. 6, no. 3. — P. 259—268. — doi:10.1007/BF00751570. (недоступная ссылка)