Аффинный шифр (Gssnuudw onsj)

Аффинный шифр — это частный случай более общего моноалфавитного шифра подстановки. К шифрам подстановки относятся также шифр Цезаря, ROT13 и Атбаш. Поскольку аффинный шифр легко дешифровать, он обладает слабыми криптографическими свойствами^[1].

Описание

В аффинном шифре каждой букве алфавита размера $m$ ставится в соответствие число из диапазона $0..m-1$ . Затем при помощи модульной арифметики для каждого числа, соответствующего букве исходного алфавита, вычисляется новое число, которое заменит старое в шифротексте. Функция шифрования^[2] для каждой буквы

{\mbox{E}}(x)=(ax+b)\mod {m},

где модуль $m$ — размер алфавита, а пара $a$ и $b$ — ключ шифра. Значение $a$ должно быть выбрано таким, что $a$ и $m$ — взаимно простые числа. Функция расшифрования^[2]

{\mbox{D}}(x)=a^{-1}(x-b)\mod {m},

где $a^{-1}$ — обратное к $a$ число по модулю $m$ . То есть оно удовлетворяет уравнению^[2]

1=aa^{-1}\mod {m}.

Обратное к $a$ число существует только в том случае, когда $a$ и $m$ — взаимно простые. Значит, при отсутствии ограничений на выбор числа $a$ расшифрование может оказаться невозможным. Покажем, что функция расшифрования является обратной к функции шифрования

{\begin{matrix}{\mbox{D}}({\mbox{E}}(x))&=&a^{-1}({\mbox{E}}(x)-b)\mod {m}\\&=&a^{-1}(((ax+b)\mod {m})-b)\mod {m}\\&=&a^{-1}(ax+b-b)\mod {m}\\&=&a^{-1}ax\mod {m}\\&=&x\mod {m}.\end{matrix}}

Количество возможных ключей для аффинного шифра можно записать через функцию Эйлера как $\varphi (m)m$ ^[1].

Примеры шифрования и расшифрования

В следующих примерах используются латинские буквы от A до Z, соответствующие им численные значения приведены в таблице.

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

Шифрование

В этом примере необходимо зашифровать сообщение «ATTACK AT DAWN», используя упомянутое выше соответствие между буквами и числами, и значения $a=3$ , $b=4$ и $m=26$ , так как в используемом алфавите 26 букв. Только на число $a$ наложены ограничения, так как оно должно быть взаимно простым с 26. Возможные значения $a$ : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23 и 25^[3]. Значение $b$ может быть любым, только если $a$ не равно единице, так как это сдвиг шифра. Итак, для нашего примера функция шифрования $y=E(x)=(3x+4){\pmod {26}}$ . Первый шаг шифрования — запись чисел, соответствующих каждой букве сообщения.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
$x$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13

Теперь, для каждого значения $x$ найдем значение $(3x+4)$ . После нахождения значения $(3x+4)$ для каждого символа возьмем остаток от деления $(3x+4)$ на 26. Следующая таблица показывает первые четыре шага процесса шифрования.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
$x$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
$3x+4$	4	61	61	4	10	34	4	61	13	4	70	43
$(3x+4){\pmod {26}}$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17

Последний шаг процесса шифрования заключается в подстановке вместо каждого числа соответствующей ему буквы. В этом примере шифротекст будет «EJJEKIEJNESR». Таблица ниже показывает все шаги по шифрованию сообщения аффинным шифром.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
$x$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
$3x+4$	4	61	61	4	10	34	4	61	13	4	70	43
$(3x+4){\pmod {26}}$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R

Расшифрование

Для расшифрования возьмем шифротекст из примера с шифрованием. Функция расшифрования будет ${\mbox{D}}(y)=a^{-1}(y+m-b){\mbox{ mod }}m$ , где $a^{-1}=9$ , $b=4$ и $m=26$ .

Замечание: если каждая $y\geqslant b$ , то функция расшифрования принимает вид ${\mbox{D}}(y)=a^{-1}(y-b){\mbox{ mod }}m$ . (Точно так же, как и в обозреваемом примере, но разберём общий вариант)

Для начала запишем численные значения для каждой буквы шифротекста, как показано в таблице ниже.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
$y$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17

Теперь для каждого $y$ необходимо рассчитать $9(y+m-4)$ и взять остаток от деления этого числа на 26. таблица показывает результат этих вычислений.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
$y$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
$9(y+26-4)$	234	279	279	234	288	270	234	279	315	234	360	351
$9(y+26-4){\pmod {26}}$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13

Последний шаг операции расшифрования для шифротекста — поставить в соответствие числам буквы. Сообщение после расшифрования будет «ATTACKATDAWN». Таблица ниже показывает выполнение последнего шага.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
$y$	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
$9(y+26-4)$	234	279	279	234	288	270	234	279	315	234	360	351
$9(y+26-4){\pmod {26}}$	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
сообщение	A	T	T	A	C	K	A	T	D	A	W	N

programming language

Криптоанализ

Так как аффинный шифр является по сути моноалфавитным шифром замены, то он обладает всеми уязвимостями этого класса шифров. Шифр Цезаря — это аффинный шифр с $a=1$ , что сводит функцию шифрования к простому линейному сдвигу^[1].

В случае шифрования сообщений на русском языке (т.е. $m=33$ ) существует 297 нетривиальных аффинных шифров, не учитывая 33 тривиальных шифра Цезаря. Это число легко посчитать, зная, что существует всего 20 чисел взаимно простых с 33 и меньших 33 (а это и есть возможные значения $a$ ). Каждому значению $a$ могут соответствовать 33 разных дополнительных сдвига (значение $b$ ); то есть всего существует 20*33 или 660 возможных ключей. Аналогично, для сообщений на английском языке (т.е. $m=26$ ) всего существует 12*26 или 312 возможных ключей^[3]. Такое ограниченное количество ключей приводит к тому, что система крайне не криптостойка с точки зрения принципа Керкгоффса.

Основная уязвимость шифра заключается в том, что криптоаналитик может выяснить (путём частотного анализа^[4], полного перебора^[1], угадывания или каким-либо другим способом) соответствие между двумя любыми буквами исходного текста и шифротекста. Тогда ключ может быть найден путём решения системы уравнений^[4]. Кроме того, так мы знаем, что $a$ и $m$ — взаимно простые, это позволяет уменьшить количество проверяемых ключей для полного перебора.

Преобразование, подобное аффинному шифру, используется в линейном конгруэнтном методе^[5] (разновидности генератора псевдослучайных чисел). Этот метод не является криптостойким по той же причине, что и аффинный шифр.

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ S. R. Nagpaul, Surender Kumar Jain. Topics in applied abstract algebra. — AMS. — P. 137-138.
↑ ¹ ² ³ Johannes Buchmann. Introduction to cryptography. — Springer. — P. 95.
↑ ¹ ² David Salomon. Coding for data and computer communications. — Springer. — P. 204.
↑ ¹ ² Josef Pieprzyk, Thomas Hardjono, Jennifer Seberry. Fundamentals of computer security. — Springer, 2003. — P. 72-74. — 677 p.
↑ Алгоритмы: введение в разработку и анализ. — Издательский дом Вильямс. — С. 130-131.

[multiple03-1] ¹ ² ³ ⁴ S. R. Nagpaul, Surender Kumar Jain. Topics in applied abstract algebra. — AMS. — P. 137-138.

[multiple01-2] ¹ ² ³ Johannes Buchmann. Introduction to cryptography. — Springer. — P. 95.

[multiple02-3] ¹ ² David Salomon. Coding for data and computer communications. — Springer. — P. 204.

[multiple04-4] ¹ ² Josef Pieprzyk, Thomas Hardjono, Jennifer Seberry. Fundamentals of computer security. — Springer, 2003. — P. 72-74. — 677 p.

[multiple05-5] Алгоритмы: введение в разработку и анализ. — Издательский дом Вильямс. — С. 130-131.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]