Антиголоморфная функция (Gumniklkbkjsugx srutenx)

Антиголоморфные функции (также называемые антианалитическими) — семейство функций, тесно связанных с голоморфными функциями.

Определение

Функция $f$, определённая на открытом подмножестве $D$ комплексной плоскости, называется антиголоморфной, если её производная ${\frac {df}{d{\bar {z}}}}$ по ${\bar {z}}$ существует во всех точках этого множества. Это равносильно условию

${\frac {\partial f}{\partial z}}=0$

которым можно придать вид, аналогичный условиям Коши — Римана:

${\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}$

${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}$

где

$f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy,\quad \{x,y,u,v\}\subset \mathbb {R}$

Функция, зависящая одновременно от $z$ и ${\bar {z}}$, не является ни голоморфной, ни антиголоморфной.

Свойства

• $f(z)$ голоморфна в $D$ тогда и только тогда, когда $f({\bar {z}})$ антиголоморфна в ${\bar {D}}=\{{\bar {z}}|z\in D\}$.
• функция антиголоморфна тогда и только тогда, когда её можно разложить по степеням ${\bar {z}}$ в окрестности каждой точки её области определения.
• $f(z)$ голоморфна в $D$ тогда и только тогда, когда ${\bar {f}}(z)$ антиголоморфна в $D$.
• если функция одновременно голоморфна и антиголоморфна, то она постоянна на любой связной компоненте её области определения.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.