S5 (модальная логика) (S5 (bk;gl,ugx lkintg))

S5 — одна из пяти систем модальной логики, предложенных Льюисом и Лэнгфордом в книге «Символическая логика» (англ. Symbolic Logic, 1932). Является нормальной модальной логикой и одной из старейших систем модальной логики. Будучи простейшей модельной логикой, образуется формулами логики высказываний, тавтологиями, аппаратом вывода с подстановками и modus ponens. Синтаксис при этом дополнен модальным оператором необходимости $\Box$ и двойственным ему оператором возможности $\Diamond$ ^[1]^[2].

С точки зрения семантики Крипке S5 относится к моделям, где отношение достижимости является отношением эквивалентности: оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Аксиомы S5

В приведённых ниже выражениях используются операторы $\Box$ («необходимость») и $\Diamond$ («возможность»).

Система S5 определяется следующими аксиомами:

K:

\Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)

T:

\Box A\to A

,

и либо

5:

\Diamond A\to \Box \Diamond A

,

либо одновременно

4:

\Box A\to \Box \Box A

B:

A\to \Box \Diamond A

.

Аксиома (5) требует, чтобы отношение достижимости $R$ семантики Крипке было евклидовым, то есть $(wRv\land wRu)\implies vRu$ .

↑ Chellas, B. F. (1980) Modal Logic: An Introduction. Cambridge University Press. ISBN 0-521-22476-4
↑ Hughes, G. E., and Cresswell, M. J. (1996) A New Introduction to Modal Logic. Routledge. ISBN 0-415-12599-5