S-преобразование (S-hjykQjg[kfguny)

S-преобразова́ние — один из математических операционных методов отображения функции, зависящей от одной переменной, обычно от времени в частотно-временную область, разновидность оконного преобразования Фурье с гауссовской оконной функцией вида $f\left(x\right)=ae^{-{b(x-c)^{2}}}$ .

S-преобразование имеет лучшее разрешение, чем преобразование Габора, но уступает по разрешению преобразованию Вигнера и билинейному время-частотному преобразованию.

Предложено в 1994 г. для анализа геофизических данных^[1]^[2].

В 2008 г.^[3] найден алгоритм быстрого S-преобразования, на несколько порядков сокращающий вычислительную сложность относительно прямого вычисления. Алгоритм быстрого S-преобразования свободно доступен по свободной лицензии^[4].

Определение

Математически S-преобразование определяется как оконное преобразование Фурье с гауссовой оконной функцией:

S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )|f|e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau .

Обратное S-преобразование:

x(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }S_{x}(t,f)\,dt\right]\,e^{j2\pi f\tau }\,df.

Общие замечания

Операционные методы (операционные исчисления) нашли широкое распространение при исследовании динамических систем. Наибольшую известность и применение получили преобразования Лапласа, Фурье, Z-преобразование, дифференциальные преобразования Пухова. Характерной особенностью всех операционных методов является такое преобразование сигналов и переменных интегро-дифференциальной математической модели динамической системы, при котором формируется алгебраическая модель системы, производится решение задачи, и на основе которых путём обратного операционного преобразования определяются решения исходной математической модели. Развитие фрактальных динамических систем, математическими моделями которых являются интегро-дифференциальные уравнения нецелых порядков, привело к необходимости создания и применения новых операционных методов, которые были бы применимы как к классическим динамическим системам целого порядка, так и к фрактальным системам. Одним из таких методов является метод, получивший название S-преобразования. Метод основан на использовании полиномиальной аппроксимации в качестве операционного исчисления^[5]^[6]^[7].

См. также

Примечания

↑ Stockwell, RG; Mansinha, L; Lowe, R. P. Localization of the complex spectrum: the S transform (англ.) // IEEE Transactions on Signal Processing^[англ.] : journal. — 1996. — Vol. 44, no. 4. — P. 998—1001. — doi:10.1109/78.492555.
↑ Stockwell, RG (1999). S-transform analysis of gravity wave activity from a small scale network of airglow imagers. PhD thesis, University of Western Ontario, London, Ontario, Canada.
↑ Brown, RA; Frayne, R. A fast discrete S-transform for biomedical signal processing (неопр.) // Conf Proc IEEE Eng Med Biol Soc. — 2008. — Т. 2008. — С. 2586—2589. — doi:10.1109/IEMBS.2008.4649729. — PMID 19163232.
↑ Fast S-Transform (неопр.). Дата обращения: 19 июля 2017. Архивировано 11 октября 2016 года.
↑ Васильев В. В.Симак Л. А. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем. — Киев: ФРАКСИМ, 2008. — 256 с.
↑ Васильев В. В. Симак Л. А. Васильев А. В. Операционное исчисление аппроксимационного типа:Применение к цифровой обработке сигналов и моделированию динамических систем дробного порядка // Электронное моделирование : журнал. — 2016. — Т. 38, № 4. — С. 20—28.
↑ Васильев А. В. Математические модели ПИД-контроллеров динамических систем целого и дробного порядков на основе S - преобразования // Информационные и телекоммуникационные технологии : журнал. — 2017. — № 17. — С. 21—26.

Литература

Васильев В. В., Симак Л. А. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем, НАН Украины, 2008. — 256 с.
Васильев В. В., Симак Л. А., Васильев А. В. Операционное исчисление аппроксимационного типа: Применение к цифровой обработке сигналов и моделированию динамических систем дробного порядка // «Электронное моделирование», 2016, т. 38, № 4. — 20 с.
Васильев А. В. Математические модели ПИД-контроллеров динамических систем целого и дробного порядков на основе S-преобразования // «Информационные и телекоммуникационные технологии», 2013. № 17. — С. 21—26.

[1] Stockwell, RG; Mansinha, L; Lowe, R. P. Localization of the complex spectrum: the S transform (англ.) // IEEE Transactions on Signal Processing^[англ.] : journal. — 1996. — Vol. 44, no. 4. — P. 998—1001. — doi:10.1109/78.492555.

[Stockwell_PhD-2] Stockwell, RG (1999). S-transform analysis of gravity wave activity from a small scale network of airglow imagers. PhD thesis, University of Western Ontario, London, Ontario, Canada.

[3] Brown, RA; Frayne, R. A fast discrete S-transform for biomedical signal processing (неопр.) // Conf Proc IEEE Eng Med Biol Soc. — 2008. — Т. 2008. — С. 2586—2589. — doi:10.1109/IEMBS.2008.4649729. — PMID 19163232.

[4] Fast S-Transform (неопр.). Дата обращения: 19 июля 2017. Архивировано 11 октября 2016 года.

[5] Васильев В. В.Симак Л. А. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем. — Киев: ФРАКСИМ, 2008. — 256 с.

[6] Васильев В. В. Симак Л. А. Васильев А. В. Операционное исчисление аппроксимационного типа:Применение к цифровой обработке сигналов и моделированию динамических систем дробного порядка // Электронное моделирование : журнал. — 2016. — Т. 38, № 4. — С. 20—28.

[7] Васильев А. В. Математические модели ПИД-контроллеров динамических систем целого и дробного порядков на основе S - преобразования // Информационные и телекоммуникационные технологии : журнал. — 2017. — № 17. — С. 21—26.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]