q-производная (q-hjkn[fk;ugx)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Q-производная или производная Джексона — это q-аналог обычной производной, который предложил Франк Хилтон Джексон. Q-производная обратна q-интегрированию Джексона. Другие виды q-производной можно найти в статье К.С. Чанга, В.С Чанга, С.Т. Нама и Х.Дж. Кана[1].

Определение

[править | править код]

Q-производная функции f(x) определяется как

и часто записывается как . Q-производная известна также как производная Джексона.

Формально, в терминах оператора сдвига Лагранжа в логарифмических переменных, это равносильно оператору

который приводит к обычной производной, → ddx при q → 1.

Оператор очевидно линеен,

Q-производная имеет правило для произведения, аналогичное правилу произведения для обычной производной в двух эквивалентных формах

Аналогично, q-производная удовлетворяет правилу для деления,

Есть также правило, подобное правилу обычного дифференцирования суперпозиции функций. Пусть . Тогда

Собственная функция q-производной — это q-показательная функция[англ.] eq(x).

Связь с обычными производными

[править | править код]

Q-дифференцирование напоминает обычное дифференцирование с курьёзными отличиями. Например, q-производная одночлена равна

,

где q-скобка числа n. Заметим, что , так что обычная производная возвращается в пределе.

Для функции n-ая q-производная может быть задана как:

при условии, что обычная n-ая производная функции f существует в x = 0. Здесь q-символ Похгаммера, а q-факториал. Если функция аналитическая, мы можем использовать формулу Тейлора для определения

Q-аналог разложения Тейлора функции около нуля:

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Jackson F. H. On q-functions and a certain difference operator // Trans. Roy. Soc. Edin.. — 1908. — Т. 46. — С. 253-281.
  • Exton H. q-Hypergeometric Functions and Applications. — New York, Chichester: Halstead Press; Ellis Horwood, 1983. — ISBN 0853124914.
  • Victor Kac, Pokman Cheung. Quantum Calculus. — Springer-Verlag, 2002. — (Universitext). — ISBN 0-387-95341-8.
  • Chung K. S., Chung W. S., Nam S. T., Kang H. J. New q-derivative and q-logarithm // International Journal of Theoretical Physics. — 1994. — Т. 33. — С. 2019-2029.

Литература для дальнейшего чтения

[править | править код]