Monstrous moonshine (Monstrous moonshine)

Monstrous moonshine, также известная как Гипотеза чудовищного вздора — неожиданная связь простой конечной группы-монстра $M$ с модулярными функциями (в частности, с $j$-инвариантом). Была выдвинута как гипотеза в 1970-х годах и доказана в 1992 году.

Название

Monstrous moonshine также называется в английском языке moonshine theory, а до момента доказательства называлась monstrous moonshine hypothesis.

В русском языке она может именоваться оригинальным англоязычным названием или переводиться разными способами:

• Гипотеза чудовищного вздора.
• Лунные гипотезы.
• Лунный свет.
• Moonshine-гипотеза.

История

Первое проявление связи обнаружено в конце 1970-х годов Джоном Маккеем, обратившим внимание на то, что коэффициенты ряда Фурье нормализованного $j$-инварианта:

$j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+\cdots$

($\tau$ — отношение полупериодов, $q=e^{2\pi i\tau }$) являются специфическими линейными комбинациями размерностей $r_{i}$ неприводимых представлений группы $M$:

${\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}\\&=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}\\&=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\dots \end{aligned}}$.

Джон Томпсон для объяснения феномена предложил изучить степенные ряды с коэффициентами, являющимися характерами представлений монстра, вычисленными для различных его элементов. В 1979 году Джон Конвей (предложивший термин monstrous moonshine, впервые узнав о соотношении Маккея) и Саймон Нортон построили такие функции (ряды Маккея — Томпсона), и обнаружили их сходство с главными модулярными функциями (нем. Hauptmodul), сформулировав содержание гипотезы: каждый ряд Маккея — Томпсона соответствует определённой главной модулярной функции.

В 1992 году гипотеза была доказана учеником Конвея Ричардом Борчердсом, впоследствии получившим Филдсовскую премию, в том числе за этот результат. Доказательство существенным образом опиралось на свойства некоторой алгебры вершинных операторов (монстр-вершинной алгебры), для которой группа-монстр является группой симметрий, и тем самым обнаружена связь утверждения с теорией струн и конформной теорией поля (основывающихся на алгебрах вершинных операторов).