M-матрица (M-bgmjneg)

M-матрица в математике — это Z-матрица с собственными значениями, действительные части которой неотрицательны. Множество неособых M-матриц является подмножеством класса P-матриц, а также класса обратноположительных матриц (то есть матриц, обратные к которым принадлежат классу положительных матриц). Название M-матрица, по-видимому, первоначально было выбрано Александром Островским в связи с Германом Минковским, который доказал, что если у Z-матрицы все суммы строк положительны, то определитель этой матрицы положителен.

Характеристики

M-матрица обычно определяется следующим образом:

Определение: Пусть $A$ — $n\times n$ вещественная Z-матрица, то есть матрица $A=(a_{ij})$ такова, что $a_{ij}\leq 0$ для всех $i\neq j$, $1\leq i,j\leq n$. Тогда матрица $A$ также является M-матрицей, если она представима в виде $A=sI-B$, где $B=(b_{ij})$, $b_{ij}\geq 0$ для всех $1\leq i,j\leq n$, где s по меньшей мере так же велико, как максимум модулей собственных значений $B$, а $I$ — единичная матрица.

Для несингулярности матрицы $A$, согласно теореме Перрона-Фробениуса, должно выполняться условие s > ρ(B). Кроме того, для неособой M-матрицы диагональные элементы $a_{ii}\leq 0$ матрицы $A$ должны быть положительными. Далее характеризуется только класс неособых M-матриц.

Известно много утверждений, эквивалентных этому определению неособых M-матриц, и любое из этих утверждений может служить отправным определением неособой M-матрицы. Например, Племмонс перечисляет 40 таких эквивалентностей. Племмонс классифицировал эти характеристики с точки зрения их отношения к свойствам: (1) положительности главных миноров, (2) обратной положительности и расщеплений, (3) устойчивости и (4) полуположительности и диагонального доминирования. Имеет смысл классифицировать свойства таким образом, потому что операторы внутри определённой группы связаны друг с другом, даже если матрица $A$ является произвольной матрицей и не обязательно Z-матрицей.