L-функция Дирихле
— комплексная функция, заданная при
(при
в случае главного характера) формулой
,
где
— некоторый числовой характер (по модулю k).
-функции Дирихле были введены для доказательства теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, центральным моментом которого является доказательство неравенства
для неглавных характеров.
В силу мультипликативности числового характера
-функция Дирихле представима в области
в виде эйлерова произведения по простым числам:
.
Эта формула обуславливает многочисленные применения
-функций в теории простых чисел.
-функция Дирихле, соответствующая главному характеру по модулю k, связана с дзета-функцией Римана
формулой
.
Эта формула позволяет доопределить
для области
c простым полюсом в точке
.
Аналогично функции Римана,
-функция удовлетворяет похожему функциональному уравнению.
Определим
следующим образом:
если
— гамма-функция,
— чётный характер, то
![{\displaystyle \Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)L(\chi ,s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d984e1597879d7bb91469951899aa28292a94dd5)
Если
— нечётный характер, то
![{\displaystyle \Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-(s+1)/2}\Gamma ((s+1)/2)L(\chi ,s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1678e2983ff37e2fd111ba36e2a66aed5f849e)
Пусть также
— сумма Гаусса характера
, а
для чётного
и
для нечётного
. Тогда функциональное уравнение принимает вид:
![{\displaystyle \Lambda (\chi ,s)=\varepsilon (\chi )q^{1/2-s}\Lambda ({\bar {\chi }},1-s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58fb6db721bba6cf4b5e407fb42cc4a9018d28a9)
- Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
- Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.