FRACTRAN (FRACTRAN)

FRACTRAN — полный по Тьюрингу эзотерический язык программирования, предложенный Джоном Конвеем.

Описание

Программа на FRACTRAN записывается как упорядоченный список положительных дробей вместе с начальным положительным целочисленным входом n. Программа запускается путём обновления целого числа n следующим образом:

1. для первой дроби $f$ в списке, для которой произведение $n\cdot f$ является целым числом, замените $n$ на $n\cdot f$
2. повторяйте это правило до тех пор, пока ни одна дробь в списке не выдаст целое число при умножении на $n$, затем остановите.

Например следующая программа генерирует простые числа:

$\left({\frac {17}{91}},{\frac {78}{85}},{\frac {19}{51}},{\frac {23}{38}},{\frac {29}{33}},{\frac {77}{29}},{\frac {95}{23}},{\frac {77}{19}},{\frac {1}{17}},{\frac {11}{13}},{\frac {13}{11}},{\frac {15}{2}},{\frac {1}{7}},{\frac {55}{1}}\right)$

Начиная с n = 2, эта программа генерирует следующую последовательность целых чисел:

2, 15, 825, 725, 1925, 2275, 425, 390, 330, 290, 770, ... последовательность A007542 в OEIS

После 2 эта последовательность содержит следующие степени 2:

$2^{2}=4,\,2^{3}=8,\,2^{5}=32,\,2^{7}=128,\,2^{11}=2048,\,2^{13}=8192,\,2^{17}=131072,\,2^{19}=524288,\,\dots$ последовательность A034785 в OEIS

которые являются простыми степенями 2.

Понимание программы FRACTRAN

Программа FRACTRAN может рассматриваться как тип машины Минского, где регистры хранятся в простых показателях в аргументе n.

Используя нумерацию Гёделя, положительное целое число n может кодировать произвольное число произвольно больших положительных целочисленных переменных. Значение каждой переменной кодируется как показатель простого числа в простой факторизации целого числа. Например, целое число

$60=2^{2}\times 3^{1}\times 5^{1}$

представляет состояние регистра, в котором одна переменная (которую мы будем называть $v_{2}$) содержит значение 2, а две другие переменные ($v_{3}$ и $v_{5}$) содержат значение 1. Все остальные переменные содержат значение 0.

Программа FRACTRAN — это упорядоченный список положительных дробей. Каждая дробь представляет собой инструкцию, которая проверяет одну или несколько переменных, представленных основными факторами её знаменателя. Например:

$f_{1}={\frac {21}{20}}={\frac {3\times 7}{2^{2}\times 5^{1}}}$

проверяет две переменные $v_{2}$ и $v_{5}$. Если $v_{2}\geq 2$ и $v_{5}\geq 1$, то выполняются присвоения $v_{2}:=v_{2}-2$, $v_{5}:=v_{5}-1$, $v_{3}:=v_{3}+1$, $v_{7}:=v_{7}+1$. Например:

$60\cdot f_{1}=2^{2}\times 3^{1}\times 5^{1}\cdot {\frac {3\times 7}{2^{2}\times 5^{1}}}=3^{2}\times 7^{1}$

Поскольку программа FRACTRAN представляет собой просто список дробей, эти инструкции проверка-присвоение являются единственными допустимыми инструкциями на языке FRACTRAN. Кроме того, применяются следующие ограничения:

• Каждый раз, когда выполняется инструкция, проверяемые переменные также уменьшаются.
• Одна и та же переменная не может быть одновременно уменьшена и увеличена в одной инструкции (в противном случае дробь, представляющая эту инструкцию, не будет несократимой).
• Инструкция FRACTRAN неспособна непосредственно проверить, равна ли переменная 0. Однако есть непрямой способ это сделать путём создания инструкции, которая помещается после других инструкций, которые проверяют конкретную переменную.

Ссылки

• "Prime Number Pathology: Fractran"
• Weisstein, Eric W. "FRACTRAN". MathWorld.
• Prime Number Pathology
• FRACTRAN
• Ruby implementation and example programs
• Project Euler Problem 308
• "Building Fizzbuzz in Fractran from the Bottom Up"
• Chris Lomont, "A Universal FRACTRAN Interpreter in FRACTRAN"
• John Conway  Fractran: A Ridiculous Logical Language with John Conway [2012]