Empirical Mode Decomposition (Empirical Mode Decomposition)

EMD (англ. Empirical Mode Decomposition) — метод разложения сигналов на функции, которые получили название «эмпирические моды».

Метод EMD представляет собой итерационную вычислительную процедуру, в результате которой исходные данные (непрерывный или дискретный сигнал) раскладываются на эмпирические моды или внутренние колебания (англ. intrinsic mode functions, IMF). В отличие от гармонического анализа, где модель сигнала (дискретного или непрерывного) задаётся заранее, эмпирические моды вычисляются в ходе процесса, что и подчёркивается в названии метода. Разложение на эмпирические моды позволяет анализировать локальные явления, поэтому данный метод может быть использован при обработке нестационарных временных рядов (или процессов).

Метод EMD является неотъемлемой частью преобразования Гильберта — Хуанга.

Определения

Огибающая сигнала

Огибающая сигнала — это функция, построенная по характерным точкам данного сигнала, например, по экстремумам.

У каждого (дискретного или непрерывного) сигнала имеются локальные экстремумы: локальные максимумы и локальные минимумы. В результате, можно построить две огибающие: нижнюю огибающую, построенную по точкам локальных минимумов, и верхнюю, построенную по точкам локальных максимумов.

В методе EMD в качестве приближающих функций используются кубические сплайны.

Среднее значение

В методе EMD используется так называемое «среднее значение» — функция, которой отвечает срединная линия, расположенная в точности между огибающими: нижней и верхней.

Эмпирическая мода

Эмпирическая мода, внутреннее колебание или мода (англ. intrinsic mode functions, IMF) — это такая функция, которая обладает следующими двумя свойствами:

Количество экстремумов (и максимумов и минимумов) и количество нулей не должно отличаться более чем на единицу.
Среднее значение, которое определяется по двум огибающим — верхней и нижней, — должно быть равно нулю.

Эмпирические моды обладают такими свойствами, которые позволяют применять к ним методы гильбертова спектрального анализа.

Просеивание

Процедура выделения эмпирических мод называется просеиванием (англ. sifting).

Алгоритм метода

Пусть $X(t)$ — анализируемый сигнал.

Суть метода EMD заключается в последовательном вычислении эмпирических мод $c_{j}$ и остатков $r_{j}=r_{j-1}-c_{j}$ , где $j=1,\;2,\;3,\;\ldots ,\;n$ и $r_{0}=X(t)$ .

В результате получается разложение сигнала вида

X(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}+r_{n},

где $n$ — количество эмпирических мод, которое устанавливается в ходе вычислений.

Схема алгоритма

В общем виде алгоритм метода выглядит следующим образом.

Находятся экстремумы сигнала. Их следует искать между каждыми двумя последовательными переменами знака.

Строятся две огибающие сигнала: нижняя $\nu$ и верхняя $\mu$ . При этом можно использовать сплайн (например, кубический).

Вычисляются среднее значение $m_{1}$ и разность $h_{1}$ между сигналом и его средним значением:

X(t)-m_{1}=h_{1}

.

Если полученная разность удовлетворяет определению эмпирической моды, то процесс останавливается. В этом случае полученная разность и будет эмпирической модой.

В противном случае, необходимо повторить предыдущие операции уже для полученной разности $h_{1}$ (поиск экстремумов, построение огибающих, вычисление среднего и его вычитание):

h_{1}-m_{11}=h_{11}

.

В результате выполнения последовательности итераций вида

h_{1(k-1)}-m_{1k}=h_{1k}

необходимо получить функцию

c_{1}=h_{1k},

которая удовлетворяет определению эмпирической моды. Как только эмпирическая мода, обозначаемая $c_{1}$ , выделена, итерации прекращаются.

Вычисляется остаток $r_{1}=x-c_{1}$ , и весь алгоритм повторяется снова, но уже для функции $r_{1}$ .

Получение остатков происходит до тех пор, пока вновь вычисленный остаток не окажется монотонной функцией, из которой уже нельзя выделить эмпирическую моду.

Условия остановки

При просеивании последовательно вычисляются функции $h_{k}$ , поэтому необходимо иметь критерий останова итерационного процесса. Для этого обычно используется одно из двух условий.

Первое условие было предложено самим Хуангом и по форме напоминает критерий Коши (сходимости последовательности), а именно: определим для каждого целого числа $k$ величину

{SD}_{k}=\sum \limits _{t=0}^{T}{\frac {|h_{k-1}(t)-h_{k}(t)|^{2}}{h_{k-1}^{2}(t)}}.

Итерации прекращаются как только число ${SD}_{k}$ станет меньше, чем некоторая заданная заранее величина.

Второе условие основано на соотношении количества пересечения нуля $Z_{k}$ и количества экстремумов $E_{k}$ : процесс просеивания обрывается, если $Z_{k}=E_{k}$ или $|Z_{k}-E_{k}|=1$ имеет место на протяжении $S$ итераций. Число $S$ выбирается заранее.

См. также

Литература

Huang, et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis. // Proc. R. Soc. Lond. A. — 1998. — Т. 454. — С. 903—995. Архивировано 6 сентября 2006 года.