ARIMA (ARIMA)

ARIMA (англ. autoregressive integrated moving average, иногда модель Бокса — Дженкинса, методология Бокса — Дженкинса) — интегрированная модель авторегрессии — скользящего среднего — модель и методология анализа временных рядов. Является расширением моделей ARMA для нестационарных временных рядов, которые можно сделать стационарными взятием разностей некоторого порядка от исходного временного ряда (так называемые интегрированные или разностно-стационарные временные ряды). Модель $ARIMA(p,d,q)$ означает, что разности временного ряда порядка $d$ подчиняются модели $ARMA(p,q)$ .

Формальное определение модели

Модель $ARIMA(p,d,q)$ для нестационарного временного ряда $X_{t}$ имеет вид:

\triangle ^{d}X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}a_{i}\triangle ^{d}X_{t-i}+\sum _{j=1}^{q}b_{j}\varepsilon _{t-j}+\varepsilon _{t}

где $\varepsilon _{t}$ — стационарный временной ряд;

c,a_{i},b_{j}

— параметры модели.

\triangle ^{d}

— оператор разности временного ряда порядка d (последовательное взятие d раз разностей первого порядка — сначала от временного ряда, затем от полученных разностей первого порядка, затем от второго порядка и т. д.)

Также данная модель интерпретируется как $ARMA(p+d,q)$ - модель с $d$ единичными корнями. При $d=0$ имеем обычные $ARMA$ -модели.

Операторное представление

С помощью лагового оператора $L:~Lx_{t}=x_{t-1}$ данные модели можно записать следующим образом:

(1-L)^{d}X_{t}=c+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})(1-L)^{d}X_{t}+(1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j})\varepsilon _{t}

,

или сокращённо:

a(L)(1-L)^{d}X_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t}

.

где $a(L)=1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i}$

b(L)=1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j}

Пример

Простейшим примером ARIMA-модели является известная модель случайного блуждания:

x_{t}=x_{t-1}+\varepsilon _{t}\Rightarrow \triangle x_{t}=(1-L)x_{t}=\varepsilon _{t}

Следовательно это модель $ARIMA(0,1,0)$ .

Интегрированные временные ряды

ARIMA-модели позволяют моделировать интегрированные или разностно-стационарные временные ряды (DS-ряды, diference stationary).

Временной $X_{t}$ ряд называется интегрированным порядка $k$ (обычно пишут $X_{t}\sim I(k)$ ), если разности ряда порядка $k$ , то есть $\triangle ^{k}x_{t}$ являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются стационарными относительно некоторого тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). В частности $I(0)$ — это стационарный процесс.

Порядок интегрированности временного ряда и есть порядок $d$ модели $ARIMA(p,d,q)$ .

Методология ARIMA (Бокса — Дженкинса)

Подход ARIMA к временным рядам заключается в том, что в первую очередь оценивается стационарность ряда. Различными тестами выявляются наличие единичных корней и порядок интегрированности временного ряда (обычно ограничиваются первым или вторым порядком). Далее при необходимости (если порядок интегрированности больше нуля) ряд преобразуется взятием разности соответствующего порядка и уже для преобразованной модели строится некоторая ARMA-модель, поскольку предполагается, что полученный процесс является стационарным, в отличие от исходного нестационарного процесса (разностно-стационарного или интегрированного процесса порядка $d$ ).

Модели ARFIMA

Теоретически порядок интегрированности $d$ временного ряда может быть не целой величиной, а дробной. В этом случае говорят о дробно-интегрированных моделях авторегрессии — скользящего среднего (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Для понимания сущности дробного интегрирования необходимо рассмотреть разложение оператора взятия $d$ -ой разности в степенной ряд по степеням лагового оператора для дробных $d$ (разложение в ряд Тейлора):

\triangle ^{d}=(1-L)^{d}=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{j=0}^{k-1}(d-j){\frac {(-1)^{k}}{k!}}L^{k}

.

Литература

Айвазян С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. — М.: Юнити-Дана, 2001. — 432 с. — ISBN 5-238-00305-6.
Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.
Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И. И. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 576 с. — ISBN 5-279-02786-3.