Ядро Дирихле (X;jk :njn]ly)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Ядро Дирихле — -периодическая функция, задаваемая следующей формулой[1][2]:

Функция названа в честь французско-немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это позволяет аналитически оценивать соотношения между исходной функцией и её приближениями в пространстве .

Соотношение с рядом Фурье

[править | править код]

Пусть  — интегрируема на и -периодическая, тогда

Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.

Доказательство

[править | править код]

Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.

Применяя формулу косинуса разности к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:

Рассмотрим сумму косинусов:

Умножим каждое слагаемое на и преобразуем по формуле

Применяя это преобразование к формуле (4), получим:

Сделаем замену переменного

Свойства ядра Дирихле

[править | править код]
  •  — функция -периодическая и четная.

Примечания

[править | править код]
  1. Математическая энциклопедия / Виноградов И.М.. — М.: Советская энциклопедия. — Т. 2. — С. 194.
  2. Dirichlet kernel. Дата обращения: 23 августа 2017. Архивировано 23 августа 2017 года.