Энстрофия (|uvmjksnx)

В гидродинамике энстрофия E может интерпретироваться как другой тип потенциальной плотности; или, более конкретно, количество, непосредственно связанное с кинетической энергией в модели потока, которое соответствует эффектам диссипации в жидкости. Это особенно полезно при изучении турбулентных течений, и его часто идентифицируют при изучении двигателя, а также в области теории горения.

Для заданной области $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ и однократно слабо дифференцируемого векторного поля $u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})^{n}$, которое представляет поток жидкости, такой как решение уравнений Навье-Стокса, его энстрофия определяется как:

${\mathcal {E}}(u):=\int _{\Omega }|\nabla \mathbf {u} |^{2}\,dx,$

где $|\nabla \mathbf {u} |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\left|\partial _{i}u^{j}\right|^{2}$. Эта величина совпадает с квадратом полунормы $|\mathbf {u} |_{H^{1}(\Omega )^{n}}^{2}$решения в пространстве Соболева $H^{1}(\Omega )^{n}$.

В случае, когда поток несжимаемый или, что эквивалентно, $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$, энстрофия может быть описана как интеграл от квадрата завихренность $\mathbf {\omega }$,

${\mathcal {E}}({\boldsymbol {\omega }})\equiv \int _{\Omega }|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\,dx$

или, с точки зрения скорости потока,

${\mathcal {E}}(\mathbf {u} )\equiv \int _{S}|\nabla \times \mathbf {u} |^{2}\,dS\,.$

В контексте несжимаемых уравнений Навье-Стокса энстрофия проявляется в следующем полезном результате

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\mathbf {u} |^{2}\right)=-\nu {\mathcal {E}}(\mathbf {u} ).$

Величина в скобках слева — это энергия потока, поэтому результат говорит о том, что энергия уменьшается пропорционально кинематической вязкости $\nu$, умноженной на энстрофию.

Источники

• Umurhan, O. M.; Regev, O. (December 2004). "Hydrodynamic stability of rotationally supported flows: Linear and nonlinear 2D shearing box results". Astronomy and Astrophysics. 427 (3): 855—872. arXiv:astro-ph/0404020. Bibcode:2004A&A...427..855U. doi:10.1051/0004-6361:20040573. S2CID 15418079.
• Weiss, John (March 1991). "The dynamics of enstrophy transfer in two-dimensional hydrodynamics". Physica D: Nonlinear Phenomena. 48 (2—3): 273—294. Bibcode:1991PhyD...48..273W. doi:10.1016/0167-2789(91)90088-Q.