Энергия Уиллмора (|uyjinx Rnllbkjg)

Перейти к навигации Перейти к поиску
«Поверхность Уиллмора», скульптура в Даремском университете в память Томасу Уиллмору

Энергия Уиллмора является численной мерой, отражающей отклонение заданной поверхности от круглой сферы. Математически энергия Уиллмора гладкой замкнутой поверхности, вложенной в трёхмерное евклидово пространство, определяется как интеграл от квадрата средней кривизны минус гауссова кривизна. Термин назван именем английского геометра Томаса Уиллмора.

Определение

[править | править код]

В символическом выражении энергия Уиллмора поверхности S равна

,

где является средней кривизной, является гауссовой кривизной, а dA является площадью поверхности S. Для замкнутой поверхности, по формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны может быть вычислен в терминах эйлеровой характеристики поверхности

который является топологическим инвариантом, а потому не зависит от конкретного вложения в . Тогда энергия Уиллмора может выражена как

Альтернативной, но эквивалентной формулой является

где и являются главными кривизнами поверхности.

Энергия Уиллмора всегда больше или равна нулю. Круглая сфера имеет нулевую энергию Уиллмора.

Энергию Уиллмора можно рассматривать как функционал на пространстве вложений в заданное пространство в смысле вариационного исчисления и можно менять вложение поверхности, оставляя её топологически неизменной.

Критические точки

[править | править код]

Основной проблемой в вариационном исчислении является поиск критических точек и минимум функционала.

Для заданного топологического пространства это эквивалентно нахождению критических точек функции

поскольку эйлерова характеристика постоянна.

Можно найти минимум (локальный) для энергии Уиллмора с помощью градиентного спуска, который в этом контексте называется потоком Уиллмора.

Для сферы, вложенной в 3-мерное пространство, критические точки классифицировал Брайант[1] — они все являются конформными преобразованиями минимальных поверхностей, круглая сфера является минимумом, а все другие критические значения являются целыми числами, большими или равными 4. Они называются поверхностями Уиллмора.

Поток Уиллмора

[править | править код]

Поток Уиллмора является геометрическим потоком[англ.], соответствующий энергии Уиллмора. Она является -градиентным потоком.

где H означает среднюю кривизну многообразия .

Линии потока удовлетворяют дифференциальному уравнению:

где лежит на поверхности.

Этот поток приводит к эволюционной задаче в дифференциальной геометрии — поверхность эволюционирует во времени, следуя наиболее крутому уменьшению энергии. Подобно поверхностной диффузии поток является потоком четвёртого порядка, поскольку вариация энергии содержит четвёртую производную.

Приложения

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Bryant, 1984, с. 23–53.
  2. Müller, Röger, 2014, с. 109–139.

Литература

[править | править код]
  • Stefan Müller, Matthias Röger. Confined structures of least bending energy // Journal of Differential Geometry. — 2014. — Май (т. 97, вып. 1). — doi:10.4310/jdg/1404912105.
  • Willmore T. J. A survey on Willmore immersions // Geometry and Topology of Submanifolds, IV (Leuven, 1991). — River Edge, NJ: World Scientific, 1992. — С. 11–16.
  • Robert L. Bryant. A duality theorem for Willmore surfaces // Journal of Differential Geometry. — 1984. — Т. 20, вып. 1. — С. 23–53.