Эллипсоид Джона (|llnhvkn; :'kug)
Эллипсоид Джона — один из двух эллипсоидов связанных с выпуклым телом K в n-мерном евклидовом пространстве. Может относиться к n-мерному эллипсоиду максимального объема, содержащемуся внутри K (так называемый внутренний эллипсоид Джона), или эллипсоиду минимального объема, содержащий K (так называемый внешний эллипсид Джона).
Назван в честь немецко-американского математика Фрица Джона, который в 1948 году доказал, что каждое выпуклое тело в n-мерном евклидовом пространстве содержит единственный описанный эллипсоид минимального объема и что этот эллипсоид уменьшенный в n раз содержится внутри выпуклого тела.[1]
Свойства
[править | править код]Внутренний эллипсоид Джона E(K) выпуклого тела K ⊂ R n является замкнутым единичным шаром B в Rn тогда и только тогда, когда B ⊆ K и существует целое число m ≥ n и, для i = 1, ..., m, действительных чисел c i> 0 и единичных векторов u i ∈ S n−1 ∩ ∂K такой, что[2]
и, для всех x ∈ R n
Приложения
[править | править код]Вычисление эллипсоидов Джона находит применение в обнаружении столкновений с препятствиями для роботизированных систем, где расстояние между роботом и окружающей его средой оценивается с использованием наилучшего соответствия эллипсоида.[3]
Он также имеет приложения для оптимизации портфеля с учетом транзакционных издержек.[4]
Примечания
[править | править код]- ↑ John, Fritz. "Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions". Studies and Essays Presented to R. Courant on his 60th Birthday, January 8, 1948, 187—204. Interscience Publishers, Inc., New York, N. Y., 1948. OCLC 1871554 MR: 30135
- ↑ Ball, Keith M. (1992). "Ellipsoids of maximal volume in convex bodies". Geom. Dedicata. 41 (2): 241—250. arXiv:math/9201217. doi:10.1007/BF00182424. ISSN 0046-5755.
- ↑ Rimon, Elon (1997). "Obstacle Collision Detection Using Best Ellipsoid Fit". Journal of Intelligent and Robotic Systems. 18 (2): 105—126. doi:10.1023/A:1007960531949.
- ↑ Shen, Weiwei (2015). "Transaction costs-aware portfolio optimization via fast Löwner-John ellipsoid approximation" (PDF). Proceedings of the Twenty-Ninth AAAI Conference on Artificial Intelligence (AAAI2015): 1854—1860. Архивировано из оригинала (PDF) 16 января 2017. Дата обращения: 17 ноября 2022.
![]() | На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. |