Щёлк (P~lt)

Эта статья об игре, в которой съедают дольку шоколадки и всё правее и ниже; об игре, в которой шоколадку делят по прямой и съедают половинку см. Ним (игра)#Шоколадка.

Плитка шоколада 7 × 4 — один из вариантов поля для игры в Щёлк

«Щёлк»^:407 (от англ. Chomp) — математическая игра, заключающаяся в поедании двумя игроками плитки шоколада по определённым правилам.

Современная геометрическая формулировка игры была придумана Дэвидом Гейлом в 1974 году, а более ранняя арифметическая — Фредериком Шухом в 1952 году. Англоязычное название Chomp — буквально означающее «Чавк» (от «чавкать») — придумал Мартин Гарднер.

Геометрическая версия

Поле игры «Щёлк» — прямоугольная плитка шоколада; двое игроков по очереди выбирают одну дольку и съедают вместе со всеми дольками выше и правее её. Проигрывает тот игрок, который съедает «отравленную» левую нижнюю дольку^:407.

Ниже приведён пример игры на поле 5 × 3: «отравленная» долька отмечена красным, а съедаемые игроком дольки — пунктиром.

Начало игры		Первый игрок		Второй игрок		Первый игрок		Второй игрок

В этом примере первый игрок вынужден съесть «отравленную» дольку и потому проигрывает.

Арифметическая версия

Поле для случая $N=p^{n}q^{m}$ (другая версия — верх и низ отражены).

Игру «Щёлк» можно переформулировать арифметически: изначально загадано натуральное число $n$; двое игроков по очереди называют делители $n_{1},n_{2},\ldots$ числа $n$, которые не являются кратными уже названных $n_{i}$. Проигрывает игрок, вынужденный назвать число 1.

Для чисел $N$ с факторизацией $p^{k}q^{l}$, то есть имеющих только два простых делителя, арифметическая версия сводится к геометрической в прямоугольнике (k+1) × (l+1). При этом делителям соответствуют дольки, запрещённым делителям — съеденные дольки, числу 1 — «отравленная» долька, см. таблицу ниже.

9	18	36	72	144
3	6	12	24	48
1	2	4	8	16

Анализ игры

С точки зрения теории игр, «Щёлк» — беспристрастная детерминированная игра с полной информацией. Кроме того, в игре конечное число состояний, а потому из общих утверждений теории игр следует, что у одного из игроков должна быть выигрышная стратегия.

Заимствование стратегии позволяет показать, что выигрышная стратегия есть у первого игрока (кроме случая поля 1 × 1), однако доказательство неконструктивно. В частности, допустим, что у второго игрока существует выигрышная стратегия и докажем, что у первого игрока она также есть, предположив, что первым ходом первый игрок съел только правую верхнюю дольку и рассмотрел ход второго игрока, ведущий к выигрышной стратегии; тогда первый игрок может сам сделать такой первый ход, тем самым «позаимствовав» стратегию второго игрока. Значит, у второго игрока не может быть выигрышной стратегии, а потому она есть у первого^:410.

По состоянию на 1974 год, известны выигрышные стратегии первого только для частных форм поля^:408:

1. Поле квадратно. Первым ходом первый игрок должен откусить квадрат со стороной на один меньше; останутся две полоски шириной 1, соединённые по одной дольке в форме перевёрнутой буквы «Г». Далее первый игрок должен симметрично повторять ходы второго^:408.
2. Поле имеет форму 2 × n. Первым ходом первый игрок должен откусить правую верхнюю дольку. Далее, после каждого хода второго игрока он должен восстанавливать ситуацию, чтобы в нижней строке было на одну дольку больше^:410.

Также на компьютере найдены выигрышные стратегии для небольших размеров поля. Наименьший известный размер поля, для которого выигрышная стратегия не единственна — (8, 10).

Ссылки

• Chomp — разная информация об игре (англ.)