Функция Доусона
F
(
x
)
=
D
+
(
x
)
{\displaystyle F(x)=D_{+}(x)}
, вблизи начала координат
Функция Доусона
D
−
(
x
)
{\displaystyle D_{-}(x)}
, вблизи начала координат
В математике функция Доусона, или интеграл Доусона (названная по имени Генри Гордона Доусона ) — неэлементарная функция действительного переменного:
F
(
x
)
=
e
−
x
2
∫
0
x
e
t
2
d
t
.
{\displaystyle F(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt.}
Общие свойства
Нечётная функция :
F
(
−
x
)
=
−
F
(
x
)
{\displaystyle F(-x)=-F(x)}
.
Производная :
d
d
x
F
(
x
)
=
1
−
2
x
F
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=1-2xF(x)}
.
Неопределённый интеграл :
∫
F
(
x
)
d
x
=
1
2
x
2
2
F
2
(
1
,
1
;
3
2
,
2
;
−
x
2
)
{\displaystyle \int F(x)\,dx={\frac {1}{2}}x^{2}{}_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-x^{2}\right)}
, где
2
F
2
(
a
,
b
;
c
,
d
;
z
)
{\displaystyle {}_{2}F_{2}\left(a,b;c,d;z\right)}
- обобщённая гипергеометрическая функция .
Является дробной производной обратной экспоненты :
D
−
1
/
2
e
−
x
=
2
π
F
(
x
)
{\displaystyle D^{-1/2}e^{-x}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}F({\sqrt {x}})}
.
Имеет максимум в точке, являющейся решением уравнения
1
−
π
e
−
x
2
x
e
r
f
i
(
x
)
=
0
{\displaystyle 1-{\sqrt {\pi }}e^{-x^{2}}x\,\mathrm {erfi} (x)=0}
:
F
(
0
,
9241388730
)
=
0
,
541044246
{\displaystyle F(0,9241388730)=0,541044246}
. Дроби задаются последовательностями цифр последовательность 133841 в OEIS и последовательность 133842 в OEIS .
Имеет точку перегиба :
F
(
1
,
5019752683
)
=
0
,
4276866160
{\displaystyle F(1,5019752683)=0,4276866160}
(последовательность 133843 в OEIS ).
Раскладывается в цепные дроби :
F
(
z
)
=
1
1
+
2
z
2
3
−
4
z
2
5
+
6
z
2
7
−
8
z
2
9
+
⋯
{\displaystyle F(z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2z^{2}}{3-{\cfrac {4z^{2}}{5+{\cfrac {6z^{2}}{7-{\cfrac {8z^{2}}{9+\cdots }}}}}}}}}}}
F
(
z
)
=
z
1
+
2
z
2
−
4
z
2
3
+
2
z
2
−
8
z
2
5
+
2
z
2
−
12
z
2
7
+
2
z
2
−
⋯
{\displaystyle F(z)={\cfrac {z}{1+2z^{2}-{\cfrac {4z^{2}}{3+2z^{2}-{\cfrac {8z^{2}}{5+2z^{2}-{\cfrac {12z^{2}}{7+2z^{2}-\cdots }}}}}}}}}
Функция ошибок
Функция Доусона тесно связана с интегралом ошибок erf
:
F
(
x
)
=
π
2
e
−
x
2
e
r
f
i
(
x
)
=
−
i
π
2
e
−
x
2
e
r
f
(
i
x
)
{\displaystyle F(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\mathrm {erf} (ix)}
где erfi является мнимой частью функции ошибок, erfi(x ) = −i erf(ix ).
Асимптотика
Для |x |, близких к нулю, F (x ) ≈ x ,
а для |x | больших, F (x ) ≈ 1/(2x ).
Более точно, вблизи начала координат имеет место разложение в ряд :
F
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
2
k
(
2
k
+
1
)
!
!
x
2
k
+
1
=
x
−
2
3
x
3
+
4
15
x
5
−
⋯
{\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots }
F
(
x
)
=
∑
n
=
0
+
∞
(
−
2
)
n
1
⋅
3
⋅
5
⋯
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
=
x
−
2
3
x
3
+
4
15
x
5
−
…
{\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-2)^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}}\,x^{2n+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\dots }
(этот степенной ряд сходится при всех x ) и, около
+
∞
{\displaystyle +\infty }
, имеется асимптотическое разложение :
F
(
x
)
=
1
2
x
+
1
4
x
3
+
3
8
x
5
+
⋯
+
1
⋅
3
⋅
5
⋯
(
2
n
−
1
)
2
n
+
1
x
2
n
+
1
+
o
(
x
−
2
n
−
2
)
{\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\dots +{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{n+1}x^{2n+1}}}+o(x^{-2n-2})}
(которое, напротив, для всех x представляет собой расходящийся ряд ).
Альтернативное определение
F (x ) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
d
F
d
x
+
2
x
F
=
1
{\displaystyle {\frac {dF}{dx}}+2xF=1}
с начальным условием F (0) = 0.
Иногда используют другое обозначение для функции Доусона:
D
+
(
x
)
=
e
−
x
2
∫
0
x
e
t
2
d
t
{\displaystyle D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt}
, тогда вводят "симметричную" её в нотации:
D
−
(
x
)
=
e
x
2
∫
0
x
e
−
t
2
d
t
{\displaystyle D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}
; в таких обозначениях:
D
+
(
x
)
=
π
2
e
−
x
2
e
r
f
i
(
x
)
{\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\mathrm {erfi} (x)}
и
D
−
(
x
)
=
π
2
e
x
2
e
r
f
(
x
)
{\displaystyle D_{-}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{x^{2}}\mathrm {erf} (x)}
.
Temme, N. M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press , ISBN 978-0521192255