Функция Вейерштрасса (Srutenx Fywyjomjgvvg)

Перейти к навигации Перейти к поиску
График функции Вейерштрасса с параметрами a = 3, b = 1/2 на интервале [−2, 2]. Этот график имеет фрактальный характер, демонстрируя самоподобие: увеличиваемая область (в красном круге) подобна всему графику.

Функция Ве́йерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.

Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением

где  — произвольное нечётное число, не равное единице, а  — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом

поэтому функция определена и непрерывна при всех вещественных . Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке строят две последовательности и , сходящиеся к точке , и доказывают, что отношения

и

имеют разные знаки по крайней мере при

и .

Указанные последовательности могут быть определены как

и

где  — ближайшее целое число к .

Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях

и

было установлено Харди[1].

Историческая справка

[править | править код]

В 1806 году Ампер[2] предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималась за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку теоремы Лебега[англ.][3]. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привёл своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию:

однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно. Джозеф Гервер (англ. Joseph Gerver) доказал, что эта функция всё же имеет производную в некоторых рациональных точках, лишь в 1970 году[4].

В 1872 году Вейерштрасс предложил свой контрпример — описанную выше функцию и представил строгое доказательство её недифференцируемости[5]. В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе П. Дюбуа-Реймона[6].

Ещё один пример принадлежит ван дер Вардену (1930):

где фигурные скобки означают взятие дробной части[7].

Примечания

[править | править код]
  1. Hardy G. H. Weierstrass’s nondifferentiable function // Trans — Amer. Math. Soc, 17 (1916), р. 301—325. Впрочем и Вейерштрасс упоминал это утверждение в письме к Дюбуа-Реймону в 1873 году, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229.
  2. Ampère, A. M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
  3. Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. С. 13.
  4. Gerver J. // American Journal of Mathematics, Vol. 92, No. 1 (Jan., 1970), p. 33—55 Архивная копия от 24 марта 2016 на Wayback Machine.
  5. Доклад Вейерштрасса, прочитанный в Прусской академии наук 18 июля 1872 года, опубликован в собрании сочинений (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
  6. Du Bois-Reymond R. // J. für Math., 79 (1875), p. 21—37; Вейерштрасс был редактором этого журнала и сообщил о своём контрпримере в письме к Дюбуа-Реймону 23 ноября 1873 года, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229.
  7. Van der Waerden B. L. // Math. Zeitschr., 32 (1930), p. 474—475.

Литература

[править | править код]