Функции Бриллюэна и Ланжевена (Srutenn >jnllZzug n Lgu'yfyug)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Функции Бриллюэна и Ланжевена представляют собой пару специальных функций , которые появляются при изучении идеализированного парамагнитного материала в статистической механике.

Функция Бриллюэна

[править | править код]

Функция Бриллюэна[1][2] - это специальная функция, которая определяется следующим уравнением:

Функция обычно применяется (см. ниже) в контексте, где х является действительной переменной и J является положительным целым или полуцелым числом. В этом случае функция изменяется от -1 до 1, достигая +1, при  и -1 при .

Функция чаще всего применяется при расчете намагниченности идеального парамагнетика. В частности, она описывает зависимость намагниченности  от приложенного магнитного поля  и полного углового момента J состоящего из микроскопических магнитных моментов материала. Намагниченность дается формулой:

где

  • - число атомов в единице объема,
  •  - g-фактор,
  •  - магнетон Бора,
  • - отношение Зеемановской энергии магнитного момента во внешнем поле к тепловой энергии :
-  постоянная Больцмана и температура.

Отметим, что в системе единиц Си индукция магнитного поля  измеряется в теслах, , где напряженность магнитного поля в А/м и  - проницаемость вакуума.

Функция Ланжевена

[править | править код]

В классическом пределе, моменты могут непрерывно выстроиться по полю и  может принимать все значения (). В этом пределе функция Бриллюэна превращается в функцию Ланжевена, названную в честь Поля Ланжевена:

Для малых значений x, функция Ланжевена может быть разложена в ряд Тейлора:

Альтернативная аппроксимация может быть получена из непрерывной дроби Ламберта разложения tanh(x):

При достаточно малых x, обе аппроксимации численно лучше, чем прямая оценка аналитического выражения, поскольку последняя страдает от потери значимости.

Высокотемпературный предел

[править | править код]

При  т. е. когда мало, намагниченность можно аппроксимировать законом Кюри:

где   - константа. Можно отметить, что  - эффективное число магнетонов Бора.

Предел высоких полей

[править | править код]

При  функция Бриллюэна переходит в 1. Намагниченность насыщается и магнитные моменты полностью выстраиваются по направлению приложенного поля:

  1. Ч. Киттель. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука, 1978. — С. 522
  2. Darby, M.I. Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization (англ.) // Brit. J. Appl. Phys.[англ.] : journal. — 1967. — Vol. 18, no. 10. — P. 1415—1417. — doi:10.1088/0508-3443/18/10/307. — Bibcode1967BJAP...18.1415D.