Формула произведения корангов (Skjbrlg hjkn[fy;yunx tkjguikf)
Формула произведения корангов — математическая формула, выражающая коразмерность множества точек, в которых ядро производной отображения имеет заданную размерность, в виде произведения корангов данного отображения в прообразе и образе.
Формулировка
[править | править код]Корангом линейного отображения в прообразе (в образе) называется число (соответственно, ), где — ранг отображения . Коранги связаны с размерностью ядра (обозначим её ) формулами: и [1].
Пусть — гладкое отображение гладких многообразий и размерностей и , соответственно. Символом обозначается его производная в точке , то есть линейное отображение касательных пространств .
Точка принадлежит множеству если размерность ядра производной в этой точке равна . Множества заведомо покрывают всё многообразие , однако, как правило, в этой цепочке не все множества являются непустыми (например, в случае имеет место неравенство , из которого с учетом соотношения следует, что , то есть множество пусто).
Теорема. Для отображения общего положения все множества являются гладкими подмногообразиями в . При этом имеет место соотношение где — ранг отображения называемое формулой произведения корангов[1]. |
Вычисленное по этой формуле значение может быть отрицательным. Это означает, что соответствующее множество пусто.
Следствие. В пространстве матриц типа множество матриц ранга образует гладкое многообразие коразмерности [1].
Литература
[править | править код]- Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.