Формула Карно (Skjbrlg Tgjuk)

Фо́рмула Карно́ — теорема геометрии треугольника, которая связывает сумму расстояний от центра описанной окружности труегольника до 3 его сторон и радиусы его вписанной и описанной окружностей. Названа в честь Лазара Карно (1753—1823).

Формулировка

Пусть D — центр описанной окружности треугольника ABC.

Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC, взятых со знаком минус, когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна $R+r$ , где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной.

В частности

\pm DF\pm DG\pm DH=R+r,

при правильном выборе знаков^[1]^:p.83.

Другие формулировки

Формула Карно^[2]:

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),

где $k_{a},k_{b},k_{c}$ — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон $a,b,c$ треугольника (они берутся со знаком в зависимости от того на какой стороне находится центр), а $d_{A},d_{B},d_{C}$ — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин $A,B,C$ треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны $a$ треугольника равно:

k_{a}=a/(2\mathop {\rm {tg}} A);

расстояние от ортоцентра например до вершины $A$ треугольника равно:

d_{A}=a/(\mathop {\rm {tg}} A).

Если известны стороны треугольника $a,b,c$ , то формула Карно принимает вид:

R+r={\frac {abc+{\frac {1}{2}}(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}}

Замечания

В доказательстве теоремы используется теорема Птолемея.
Формулу Карно часто называют теоремой Карно^[3].

Следствия

Японская теорема о вписанном многоугольнике:^[3] Если вписанный $n$ $n$ -угольник разрезать на $n-2$ $n-2$ треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания.
- Более того, выпуклый $n$ -угольник является вписанным, если это условие соблюдается.

Суммы радиусов зелёных и красных окружностей равны.

Примечания

↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.
↑ ¹ ² Хонсбергер, 1990.

См. также

Критерий Карно

Литература

Хонсбергер Р. Старая японская теорема // Квант. — 1990. — № 7. — С. 54-57.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Carnot's theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[Altshiller-Court-1] Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.

[2] Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.

[_9902d60016f52172-3] ¹ ² Хонсбергер, 1990.

[1]

[2]

[3]