Формула Брахмагупты (Skjbrlg >jg]bgirhmd)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Фо́рмула Брахмагу́пты — обобщение формулы Герона, выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Формулировка

[править | править код]

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон и полупериметр , то его площадь выражается формулой:

Вариации и обобщения

[править | править код]
  • Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, ).
  • На случай произвольных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть обобщена следующим образом:
где есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять, роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна , то полусумма двух других углов будет , и )
Иногда эту более общую формулу записывают так:
где и  — длины диагоналей четырёхугольника.
  • Если четырёхугольник описанный, тогда , и обобщённая формула Брахмагупты даёт
    .
В частности, для вписанно-описанных четырёхугольников
.
  • Роббинс[англ.] доказал, что для любого вписанного многоугольника с сторонами величина является корнем некоторого многочлена , коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для и . Другими авторами установлено, что многочлен можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень была равна , если и , если . Здесь
где биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем , , , (последовательность A000531 в OEIS) и , , , (последовательность A107373 в OEIS).
  • Если в формуле Брахмагупты выразить полупериметр через полусумму всех сторон данного четырехугольника, возвести обе части в квадрат, умножить на -16, раскрыть скобки и привести подобные, то она примет вид:
  • Правая часть совпадает с разложением определителя, приведенного ниже, если его умножить на -1. Поэтому можно написать, что[1]
  • Есть модификация формулы Брахмагупты для геометрии Лобачевского [2]

Примечания

[править | править код]
  1. Стариков, 2014, с. 37—39.
  2. Медных А. Д. О формуле Брахмагупты в геометрии Лобачевского. Математическое просвещение 2012. Выпуск 16. С. 172–180// http://www.mathnet.ru/links/bdaefb8812875801603ce752bfa911d2/mp299.pdf

Популярная литература

[править | править код]
  • А. Ю. Давидов. Элементарная геометрия в объеме гимназического курса. — 1863.
  • В. В. Прасолов. Формула Брахмагупты // Математика в школе. — 1991. — № 5.
  • Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

Научная литература

[править | править код]