Фишечная игра (Snoycugx nijg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Фишечная игра — это вид математической игры[англ.], в которой игра заключается в передвижении «фишек» или «маркеров» на ориентированном графе. Существует большое число различных фишечных игр.

Прохождение фишками

[править | править код]
  • Прохождение фишками — это игра, в которой фишки размещаются на вершинах направленного ациклического графа G согласно некоторым правилам.
    • Ход игры состоит либо в размещении фишки в вершине графа G, либо изъятию фишки из занимаемой фишкой вершины.
    • Вершина может быть занята фишкой, только если имеются все её предшественницы.
    • Целью игры является успешное посещение фишками всех вершин графа G (в любом порядке) с минимальным числом фишек, выставленных на графе одновременно.

Время игры

[править | править код]

Тривиальным решением является заполнение фишками n-вершинного графа за n шагов, используя n фишек. Хопкрофт, Пол и Вэлиент[1] показали, что любая вершина графа с n вершинами может быть посещена с фишками, где константа зависит от максимальной полустепени захода. Это дало им возможность доказать, что DTIME[англ.] содержится в DSPACE[англ.] для всех времяконструируемых функций[англ.] f. Липтон и Тарьян[2] показали, что любой n-вершинный планарный ациклический ориентированный граф с максимальной полустепенью захода k может быть пройден с фишками. Они также доказали, что можно получать существенное сокращение числа фишек, сохраняя полиномиальную границу числа шагов размещения фишек, доказав теорему, что любой n-вершинный планарный ацикличный ориентированный граф с максимальной полустепенью захода k может быть пройден с фишками за время . Алон, Сеймур и Томас[3] показали, что любой n-вершинный ацикличный ориентированный граф без kh-миноров и максимальной полустепенью захода k может быть пройден с фишками.

Прохождение черными и белыми фишками

[править | править код]

Обобщение этой игры, известное как «прохождение черными и белыми фишками», разрабатывали Стивен Артур Кук и Рави Сети в статье 1976 года[4]. В игру добавляются белые фишки, которые могут быть размещены в любой вершине, какой захотим, но удалить такую фишку можно, только если все непосредственные дочерние вершины также заняты фишками. Цель остаётся той же — разместить чёрную фишку на целевой вершине, но заполнение фишками смежных вершин можно делать фишками любого цвета.

Другие варианты

[править | править код]

Такуми Касаи, Акэо Адати и Сигэки Ивата разработали игру, в которой фишка может двигаться вдоль ребра в неоккупированную вершину, только если вторая фишка расположена на третьей контрольной вершине. Целью является продвинуть фишку до целевой вершины. Эти вариации делают фишечную игру обобщением игр, таких как китайские шашки и халма. Они определяют вычислительную сложность версий игры с одним и двумя игроками и их специальные версии. В версии с двумя игроками игроки двигают фишки поочерёдно. Могут существовать ограничения на то, какие фишки игрок может двигать[5].

Игра с прохождением фишками может быть обобщена до игры Эренфойхта — Фраиса[6].

Прохождение фишками графа[англ.]: некоторое число фишек располагается в вершинах неориентированного графа. Целью является достижение целевой вершины, но чтобы передвинуть фишку на смежную вершину, другая фишка на той же вершине должна быть удалена.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Hopcroft J., Paul W., Valiant L. On Time versus space // J. Assoc. Comput. Mach.. — 1977.
  • Richard J. Lipton, Robert E. Tarjan. Applications of a Planar Separator Theorem // SIAM J. Comput.. — 1980.
  • Noga Alon, Paul Seymour, Robin Thomas. A Separator Theorem for Graphs with an Excluded Minor and its Applications // ACM. — 1990.
  • Stephen Cook, Ravi Sethi. Storage requirements for deterministic polynomial time recognizable languages // Journal of Computer and System Sciences. — 1976. — Т. 13, вып. 1. — С. 25–37. — doi:10.1016/S0022-0000(76)80048-7.
  • Takumi Kasai, Akeo Adachi, Shigeki Iwata. Classes of pebble games and complete problems // SIAM Journal on Computing. — 1979. — Т. 8, вып. 4. — doi:10.1137/0208046.
  • Howard Straubing. Finite automata, formal logic, and circuit complexity. — Basel: Birkhäuser, 1994. — (Progress in Theoretical Computer Science). — ISBN 3-7643-3719-2.
  • Nicholas Pippenger. Pebbling. Technical Report RC 8258, IBM Watson Research Center // Proceedings of the 5th IBM Symposium on Mathematical Foundations of Computer Science, Japan. — 1980.
  • Jakob Nordström. Pebble Games, Proof Complexity, and Time-Space Trade-offs // Logical Methods in Computer Science. — 2013. — Сентябрь (т. 9, вып. 3).

Литература для дальнейшего чтения

[править | править код]