Факторизация гауссовых чисел (Sgtmkjn[genx igrvvkfd] cnvyl)

Факторизация гауссовых чисел — разложение целых гауссовых чисел на простые гауссовы множители.

Предварительные замечания

Особенность делимости в кольце гауссовых чисел $\mathbb {Z} [i],$ отличающая её от делимости натуральных чисел: кольцо $\mathbb {Z} [i]$ содержит четыре делителя единицы $(1;\ -1;\ i;\ -i),$ норма которых (квадрат комплексного модуля) равна 1. Два гауссовых числа называются ассоциированными, если одно получается из другого умножением на делитель единицы. Легко видеть, что ассоциированность — отношение эквивалентности^[1]. Пример: гауссовы числа $1+i$ и $1-i$ ассоциированы, поскольку:

1+i=i(1-i)

.

У каждого ненулевого гауссова числа есть три ассоциированных с ним, и делители у них у всех совпадают. Все делители чисел также определены с точностью до ассоциированности.

Для гауссовых чисел имеет место аналог основной теоремы арифметики: каждое гауссово число, не являющееся нулём или делителем единицы, разлагается на простые множители, причём это разложение однозначно с точностью до порядка и ассоциированности множителей^[2].

Пример: $5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i)$ . Множители этих двух, по виду разных, разложений попарно ассоциированы: $1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),$ так что однозначность не нарушается.

Алгоритм разложения гауссового числа на простые множители

Чтобы практически разложить гауссово число $z$ на простые множители, можно использовать следующее их свойство: все делители гауссова числа $z$ являются также делителями его нормы. При этом норма содержит также «лишние» простые множители, соответствующие сопряжённому к $z$ числу.

Таким образом, начать следует с разложения нормы числа $z$ на простые натуральные множители^[3].

Множитель 2, если он присутствует в разложении нормы, разлагается как $(1+i)(1-i)$ . Следует включить в результирующее разложение те из этих множителей (в соответствующей степени), на которые $z$ делится нацело.
Кроме числа 2, остальные множители нормы — нечётные. Множитель вида $4n+3$ является простым гауссовым числом, поэтому он делит не только норму $N(z)=~z{\overline {z}}$ , но и само $z$ . Но тогда этот множитель делит и сопряжённое число ${\overline {z}}$ . Отсюда вытекает, что множитель вида $4n+3$ входит в разложение нормы всегда в чётной степени, а в разложение самого $z$ — в степени, вдвое меньшей.
Множитель вида $4n+1$ , согласно теореме Ферма — Эйлера, можно разложить на произведение сопряжённых простых гауссовых чисел (или, что то же самое, на сумму квадратов натуральных чисел). И здесь следует делением выяснить, какой из сомножителей относится к исходному числу, а какой — к сопряжённому.

Например, для разложения на простые множители $9+12i$ (норма — 225) выделяются простые натуральные множители: $225=3^{2}\cdot 5^{2}$ . По предыдущему, $5=(2-i)(2+i)$ . При этом $9+12i$ делится только на $2+i$ и не делится на $2-i$ . Частное от деления $9+12i$ на $3(2+i)$ равно $2+i,$ поэтому окончательный результат:

9+12i=3\cdot (2+i)^{2}

.

Таблица разложения гауссовых чисел с нормой до 1000

Соглашения

Данная таблица показывает для всех гауссовых чисел с нормой от 2 до 1000, является ли это число простым гауссовым. Если да, то такое число помечено в таблице кодом: простое, а если нет, то приводится его разложение на простые гауссовы множители. Отметим, что простое натуральное число не обязано быть простым гауссовым числом; например, числа 2 и 5 как гауссовы числа не являются простыми: $2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i).$

В первой колонке таблицы — норма гауссова числа (не всякое натуральное число может быть нормой гауссова числа). Во второй — числа, имеющие эту норму, с точностью до ассоциированности — из 4 чисел, ассоциированных с числом x: ( $x,-x,ix,-ix$ ) в таблице представлено одно, у которого вещественная часть положительна, а мнимая — неотрицательна. Например, во второй строке таблицы разложение числа $2$ охватывает также разложения $-2;\ 2i;-2i.$

Каждое разложение, показанное в строке таблицы, имеет ещё по крайней мере три варианта, получаемых заменой простых множителей на ассоциированные с ними. Пример:

1+3i=(1+i)(2+i)=i(1-i)(2+i)=-i(1+i)(-1+2i)=\dots

Поэтому принято следующее соглашение: из 4 вариаций каждого простого множителя представлена та, что находится в правой полуплоскости комплексной плоскости, и у которой абсолютное значение вещественной части не меньше, чем абсолютное значение мнимой части.

Гауссовы числа упорядочены по возрастанию их нормы (последовательность A001481 в OEIS). Не всякое натуральное число может быть гауссовой нормой (см. A055025, A103431 и A103432).

Таблица факторизации

Норма	Число	Разложение
2	1+i	простое
4	2	−i·(1+i)²
5	2+i 1+2i	простое простое
8	2+2i	−i·(1+i)³
9	3	простое
10	1+3i 3+i	(1+i)·(2+i) (1+i)·(2−i)
13	3+2i 2+3i	простое простое
16	4	−(1+i)⁴
17	1+4i 4+i	простое простое
18	3+3i	(1+i)·3
20	2+4i 4+2i	(1+i)²·(2−i) −i·(1+i)²·(2+i)
25	3+4i 4+3i 5	(2+i)² i·(2−i)² (2+i)·(2−i)
26	1+5i 5+i	(1+i)·(3+2i) (1+i)·(3−2i)
29	2+5i 5+2i	простое простое
32	4+4i	−(1+i)⁵
34	3+5i 5+3i	(1+i)·(4+i) (1+i)·(4−i)
36	6	−i·(1+i)²·3
37	1+6i 6+i	простое простое
40	2+6i 6+2i	−i·(1+i)³·(2+i) −i·(1+i)³·(2−i)
41	4+5i 5+4i	простое простое
45	3+6i 6+3i	i·(2−i)·3 (2+i)·3
49	7	простое
50	1+7i 5+5i 7+i	i·(1+i)·(2−i)² (1+i)·(2+i)·(2−i) −i·(1+i)·(2+i)²
52	4+6i 6+4i	(1+i)²·(3−2i) −i·(1+i)²·(3+2i)
53	2+7i 7+2i	простое простое
58	3+7i 7+3i	(1+i)·(5+2i) (1+i)·(5−2i)
61	5+6i 6+5i	простое простое
64	8	i·(1+i)⁶
65	1+8i 4+7i 7+4i 8+i	i·(2+i)·(3−2i) (2+i)·(3+2i) i·(2−i)·(3−2i) (2−i)·(3+2i)
68	2+8i 8+2i	(1+i)²·(4−i) −i·(1+i)²·(4+i)
72	6+6i	−i·(1+i)³·3
73	3+8i 8+3i	простое простое
74	5+7i 7+5i	(1+i)·(6+i) (1+i)·(6−i)
80	4+8i 8+4i	−i·(1+i)⁴·(2−i) −(1+i)⁴·(2+i)
81	9	3²
82	1+9i 9+i	(1+i)·(5+4i) (1+i)·(5−4i)
85	2+9i 6+7i 7+6i 9+2i	i·(2−i)·(4+i) i·(2−i)·(4−i) (2+i)·(4+i) (2+i)·(4−i)
89	5+8i 8+5i	простое простое
90	3+9i 9+3i	(1+i)·(2+i)·3 (1+i)·(2−i)·3
97	4+9i 9+4i	простое простое
98	7+7i	(1+i)·7
100	6+8i 8+6i 10	−i·(1+i)²·(2+i)² (1+i)²·(2−i)² −i·(1+i)²·(2+i)·(2−i)
101	1+10i 10+i	простое простое
104	2+10i 10+2i	−i·(1+i)³·(3+2i) −i·(1+i)³·(3−2i)
106	5+9i 9+5i	(1+i)·(7+2i) (1+i)·(7−2i)
109	3+10i 10+3i	простое простое
113	7+8i 8+7i	простое простое
116	4+10i 10+4i	(1+i)²·(5−2i) −i·(1+i)²·(5+2i)
117	6+9i 9+6i	i·3·(3−2i) 3·(3+2i)
121	11	простое
122	1+11i 11+i	(1+i)·(6+5i) (1+i)·(6−5i)
125	2+11i 5+10i 10+5i 11+2i	(2+i)³ i·(2+i)·(2−i)² (2+i)²·(2−i) i·(2−i)³
128	8+8i	i·(1+i)⁷
130	3+11i 7+9i 9+7i 11+3i	i·(1+i)·(2−i)·(3−2i) (1+i)·(2−i)·(3+2i) (1+i)·(2+i)·(3−2i) −i·(1+i)·(2+i)·(3+2i)
136	6+10i 10+6i	−i·(1+i)³·(4+i) −i·(1+i)³·(4−i)
137	4+11i 11+4i	простое простое
144	12	−(1+i)⁴·3
145	1+12i 8+9i 9+8i 12+i	i·(2−i)·(5+2i) (2+i)·(5+2i) i·(2−i)·(5−2i) (2+i)·(5−2i)
146	5+11i 11+5i	(1+i)·(8+3i) (1+i)·(8−3i)
148	2+12i 12+2i	(1+i)²·(6−i) −i·(1+i)²·(6+i)
149	7+10i 10+7i	простое простое
153	3+12i 12+3i	i·3·(4−i) 3·(4+i)
157	6+11i 11+6i	простое простое
160	4+12i 12+4i	−(1+i)⁵·(2+i) −(1+i)⁵·(2−i)
162	9+9i	(1+i)·3²
164	8+10i 10+8i	(1+i)²·(5−4i) −i·(1+i)²·(5+4i)
169	5+12i 12+5i 13	(3+2i)² i·(3−2i)² (3+2i)·(3−2i)
170	1+13i 7+11i 11+7i 13+i	(1+i)·(2+i)·(4+i) (1+i)·(2+i)·(4−i) (1+i)·(2−i)·(4+i) (1+i)·(2−i)·(4−i)
173	2+13i 13+2i	простое простое
178	3+13i 13+3i	(1+i)·(8+5i) (1+i)·(8−5i)
180	6+12i 12+6i	(1+i)²·(2−i)·3 −i·(1+i)²·(2+i)·3
181	9+10i 10+9i	простое простое
185	4+13i 8+11i 11+8i 13+4i	i·(2−i)·(6+i) i·(2−i)·(6−i) (2+i)·(6+i) (2+i)·(6−i)
193	7+12i 12+7i	простое простое
194	5+13i 13+5i	(1+i)·(9+4i) (1+i)·(9−4i)
196	14	−i·(1+i)²·7
197	1+14i 14+i	простое простое
200	2+14i 10+10i 14+2i	(1+i)³·(2−i)² −i·(1+i)³·(2+i)·(2−i) −(1+i)³·(2+i)²
202	9+11i 11+9i	(1+i)·(10+i) (1+i)·(10−i)
205	3+14i 6+13i 13+6i 14+3i	i·(2+i)·(5−4i) (2+i)·(5+4i) i·(2−i)·(5−4i) (2−i)·(5+4i)
208	8+12i 12+8i	−i·(1+i)⁴·(3−2i) −(1+i)⁴·(3+2i)
212	4+14i 14+4i	(1+i)²·(7−2i) −i·(1+i)²·(7+2i)
218	7+13i 13+7i	(1+i)·(10+3i) (1+i)·(10−3i)
221	5+14i 10+11i 11+10i 14+5i	i·(3−2i)·(4+i) (3+2i)·(4+i) i·(3−2i)·(4−i) (3+2i)·(4−i)
225	9+12i 12+9i 15	(2+i)²·3 i·(2−i)²·3 (2+i)·(2−i)·3
226	1+15i 15+i	(1+i)·(8+7i) (1+i)·(8−7i)
229	2+15i 15+2i	простое простое
232	6+14i 14+6i	−i·(1+i)³·(5+2i) −i·(1+i)³·(5−2i)
233	8+13i 13+8i	простое простое
234	3+15i 15+3i	(1+i)·3·(3+2i) (1+i)·3·(3−2i)
241	4+15i 15+4i	простое простое
242	11+11i	(1+i)·11
244	10+12i 12+10i	(1+i)²·(6−5i) −i·(1+i)²·(6+5i)
245	7+14i 14+7i	i·(2−i)·7 (2+i)·7

Норма	Число	Разложение
250	5+15i 9+13i 13+9i 15+5i	(1+i)·(2+i)²·(2−i) i·(1+i)·(2−i)³ −i·(1+i)·(2+i)³ (1+i)·(2+i)·(2−i)²
256	16	(1+i)⁸
257	1+16i 16+i	простое простое
260	2+16i 8+14i 14+8i 16+2i	(1+i)²·(2+i)·(3−2i) −i·(1+i)²·(2+i)·(3+2i) (1+i)²·(2−i)·(3−2i) −i·(1+i)²·(2−i)·(3+2i)
261	6+15i 15+6i	i·3·(5−2i) 3·(5+2i)
265	3+16i 11+12i 12+11i 16+3i	i·(2−i)·(7+2i) i·(2−i)·(7−2i) (2+i)·(7+2i) (2+i)·(7−2i)
269	10+13i 13+10i	простое простое
272	4+16i 16+4i	−i·(1+i)⁴·(4−i) −(1+i)⁴·(4+i)
274	7+15i 15+7i	(1+i)·(11+4i) (1+i)·(11−4i)
277	9+14i 14+9i	простое простое
281	5+16i 16+5i	простое простое
288	12+12i	−(1+i)⁵·3
289	8+15i 15+8i 17	i·(4−i)² (4+i)² (4+i)·(4−i)
290	1+17i 11+13i 13+11i 17+i	i·(1+i)·(2−i)·(5−2i) (1+i)·(2+i)·(5−2i) (1+i)·(2−i)·(5+2i) −i·(1+i)·(2+i)·(5+2i)
292	6+16i 16+6i	(1+i)²·(8−3i) −i·(1+i)²·(8+3i)
293	2+17i 17+2i	простое простое
296	10+14i 14+10i	−i·(1+i)³·(6+i) −i·(1+i)³·(6−i)
298	3+17i 17+3i	(1+i)·(10+7i) (1+i)·(10−7i)
305	4+17i 7+16i 16+7i 17+4i	i·(2+i)·(6−5i) (2+i)·(6+5i) i·(2−i)·(6−5i) (2−i)·(6+5i)
306	9+15i 15+9i	(1+i)·3·(4+i) (1+i)·3·(4−i)
313	12+13i 13+12i	простое простое
314	5+17i 17+5i	(1+i)·(11+6i) (1+i)·(11−6i)
317	11+14i 14+11i	простое простое
320	8+16i 16+8i	−(1+i)⁶·(2−i) i·(1+i)⁶·(2+i)
324	18	−i·(1+i)²·3²
325	1+18i 6+17i 10+15i 15+10i 17+6i 18+i	(2+i)²·(3+2i) i·(2−i)²·(3+2i) i·(2+i)·(2−i)·(3−2i) (2+i)·(2−i)·(3+2i) (2+i)²·(3−2i) i·(2−i)²·(3−2i)
328	2+18i 18+2i	−i·(1+i)³·(5+4i) −i·(1+i)³·(5−4i)
333	3+18i 18+3i	i·3·(6−i) 3·(6+i)
337	9+16i 16+9i	простое простое
338	7+17i 13+13i 17+7i	i·(1+i)·(3−2i)² (1+i)·(3+2i)·(3−2i) −i·(1+i)·(3+2i)²
340	4+18i 12+14i 14+12i 18+4i	(1+i)²·(2−i)·(4+i) (1+i)²·(2−i)·(4−i) −i·(1+i)²·(2+i)·(4+i) −i·(1+i)²·(2+i)·(4−i)
346	11+15i 15+11i	(1+i)·(13+2i) (1+i)·(13−2i)
349	5+18i 18+5i	простое простое
353	8+17i 17+8i	простое простое
356	10+16i 16+10i	(1+i)²·(8−5i) −i·(1+i)²·(8+5i)
360	6+18i 18+6i	−i·(1+i)³·(2+i)·3 −i·(1+i)³·(2−i)·3
361	19	простое
362	1+19i 19+i	(1+i)·(10+9i) (1+i)·(10−9i)
365	2+19i 13+14i 14+13i 19+2i	i·(2−i)·(8+3i) (2+i)·(8+3i) i·(2−i)·(8−3i) (2+i)·(8−3i)
369	12+15i 15+12i	i·3·(5−4i) 3·(5+4i)
370	3+19i 9+17i 17+9i 19+3i	(1+i)·(2+i)·(6+i) (1+i)·(2+i)·(6−i) (1+i)·(2−i)·(6+i) (1+i)·(2−i)·(6−i)
373	7+18i 18+7i	простое простое
377	4+19i 11+16i 16+11i 19+4i	i·(3−2i)·(5+2i) (3+2i)·(5+2i) i·(3−2i)·(5−2i) (3+2i)·(5−2i)
386	5+19i 19+5i	(1+i)·(12+7i) (1+i)·(12−7i)
388	8+18i 18+8i	(1+i)²·(9−4i) −i·(1+i)²·(9+4i)
389	10+17i 17+10i	простое простое
392	14+14i	−i·(1+i)³·7
394	13+15i 15+13i	(1+i)·(14+i) (1+i)·(14−i)
397	6+19i 19+6i	простое простое
400	12+16i 16+12i 20	−(1+i)⁴·(2+i)² −i·(1+i)⁴·(2−i)² −(1+i)⁴·(2+i)·(2−i)
401	1+20i 20+i	простое простое
404	2+20i 20+2i	(1+i)²·(10−i) −i·(1+i)²·(10+i)
405	9+18i 18+9i	i·(2−i)·3² (2+i)·3²
409	3+20i 20+3i	простое простое
410	7+19i 11+17i 17+11i 19+7i	i·(1+i)·(2−i)·(5−4i) (1+i)·(2−i)·(5+4i) (1+i)·(2+i)·(5−4i) −i·(1+i)·(2+i)·(5+4i)
416	4+20i 20+4i	−(1+i)⁵·(3+2i) −(1+i)⁵·(3−2i)
421	14+15i 15+14i	простое простое
424	10+18i 18+10i	−i·(1+i)³·(7+2i) −i·(1+i)³·(7−2i)
425	5+20i 8+19i 13+16i 16+13i 19+8i 20+5i	i·(2+i)·(2−i)·(4−i) (2+i)²·(4+i) i·(2−i)²·(4+i) (2+i)²·(4−i) i·(2−i)²·(4−i) (2+i)·(2−i)·(4+i)
433	12+17i 17+12i	простое простое
436	6+20i 20+6i	(1+i)²·(10−3i) −i·(1+i)²·(10+3i)
441	21	3·7
442	1+21i 9+19i 19+9i 21+i	i·(1+i)·(3−2i)·(4−i) (1+i)·(3+2i)·(4−i) (1+i)·(3−2i)·(4+i) −i·(1+i)·(3+2i)·(4+i)
445	2+21i 11+18i 18+11i 21+2i	i·(2+i)·(8−5i) (2+i)·(8+5i) i·(2−i)·(8−5i) (2−i)·(8+5i)
449	7+20i 20+7i	простое простое
450	3+21i 15+15i 21+3i	i·(1+i)·(2−i)²·3 (1+i)·(2+i)·(2−i)·3 −i·(1+i)·(2+i)²·3
452	14+16i 16+14i	(1+i)²·(8−7i) −i·(1+i)²·(8+7i)
457	4+21i 21+4i	простое простое
458	13+17i 17+13i	(1+i)·(15+2i) (1+i)·(15−2i)
461	10+19i 19+10i	простое простое
464	8+20i 20+8i	−i·(1+i)⁴·(5−2i) −(1+i)⁴·(5+2i)
466	5+21i 21+5i	(1+i)·(13+8i) (1+i)·(13−8i)
468	12+18i 18+12i	(1+i)²·3·(3−2i) −i·(1+i)²·3·(3+2i)
477	6+21i 21+6i	i·3·(7−2i) 3·(7+2i)
481	9+20i 15+16i 16+15i 20+9i	i·(3−2i)·(6+i) i·(3−2i)·(6−i) (3+2i)·(6+i) (3+2i)·(6−i)
482	11+19i 19+11i	(1+i)·(15+4i) (1+i)·(15−4i)
484	22	−i·(1+i)²·11
485	1+22i 14+17i 17+14i 22+i	i·(2−i)·(9+4i) (2+i)·(9+4i) i·(2−i)·(9−4i) (2+i)·(9−4i)
488	2+22i 22+2i	−i·(1+i)³·(6+5i) −i·(1+i)³·(6−5i)
490	7+21i 21+7i	(1+i)·(2+i)·7 (1+i)·(2−i)·7
493	3+22i 13+18i 18+13i 22+3i	i·(4+i)·(5−2i) i·(4−i)·(5−2i) (4+i)·(5+2i) (4−i)·(5+2i)

Норма	Число	Разложение
500	4+22i 10+20i 20+10i 22+4i	−i·(1+i)²·(2+i)³ (1+i)²·(2+i)·(2−i)² −i·(1+i)²·(2+i)²·(2−i) (1+i)²·(2−i)³
505	8+21i 12+19i 19+12i 21+8i	i·(2−i)·(10+i) i·(2−i)·(10−i) (2+i)·(10+i) (2+i)·(10−i)
509	5+22i 22+5i	простое простое
512	16+16i	(1+i)⁹
514	15+17i 17+15i	(1+i)·(16+i) (1+i)·(16−i)
520	6+22i 14+18i 18+14i 22+6i	(1+i)³·(2−i)·(3−2i) −i·(1+i)³·(2−i)·(3+2i) −i·(1+i)³·(2+i)·(3−2i) −(1+i)³·(2+i)·(3+2i)
521	11+20i 20+11i	простое простое
522	9+21i 21+9i	(1+i)·3·(5+2i) (1+i)·3·(5−2i)
529	23	простое
530	1+23i 13+19i 19+13i 23+i	(1+i)·(2+i)·(7+2i) (1+i)·(2+i)·(7−2i) (1+i)·(2−i)·(7+2i) (1+i)·(2−i)·(7−2i)
533	2+23i 7+22i 22+7i 23+2i	i·(3+2i)·(5−4i) (3+2i)·(5+4i) i·(3−2i)·(5−4i) (3−2i)·(5+4i)
538	3+23i 23+3i	(1+i)·(13+10i) (1+i)·(13−10i)
541	10+21i 21+10i	простое простое
544	12+20i 20+12i	−(1+i)⁵·(4+i) −(1+i)⁵·(4−i)
545	4+23i 16+17i 17+16i 23+4i	i·(2−i)·(10+3i) i·(2−i)·(10−3i) (2+i)·(10+3i) (2+i)·(10−3i)
548	8+22i 22+8i	(1+i)²·(11−4i) −i·(1+i)²·(11+4i)
549	15+18i 18+15i	i·3·(6−5i) 3·(6+5i)
554	5+23i 23+5i	(1+i)·(14+9i) (1+i)·(14−9i)
557	14+19i 19+14i	простое простое
562	11+21i 21+11i	(1+i)·(16+5i) (1+i)·(16−5i)
565	6+23i 9+22i 22+9i 23+6i	i·(2+i)·(8−7i) (2+i)·(8+7i) i·(2−i)·(8−7i) (2−i)·(8+7i)
569	13+20i 20+13i	простое простое
576	24	i·(1+i)⁶·3
577	1+24i 24+i	простое простое
578	7+23i 17+17i 23+7i	(1+i)·(4+i)² (1+i)·(4+i)·(4−i) (1+i)·(4−i)²
580	2+24i 16+18i 18+16i 24+2i	(1+i)²·(2−i)·(5+2i) −i·(1+i)²·(2+i)·(5+2i) (1+i)²·(2−i)·(5−2i) −i·(1+i)²·(2+i)·(5−2i)
584	10+22i 22+10i	−i·(1+i)³·(8+3i) −i·(1+i)³·(8−3i)
585	3+24i 12+21i 21+12i 24+3i	i·(2+i)·3·(3−2i) (2+i)·3·(3+2i) i·(2−i)·3·(3−2i) (2−i)·3·(3+2i)
586	15+19i 19+15i	(1+i)·(17+2i) (1+i)·(17−2i)
592	4+24i 24+4i	−i·(1+i)⁴·(6−i) −(1+i)⁴·(6+i)
593	8+23i 23+8i	простое простое
596	14+20i 20+14i	(1+i)²·(10−7i) −i·(1+i)²·(10+7i)
601	5+24i 24+5i	простое простое
605	11+22i 22+11i	i·(2−i)·11 (2+i)·11
610	9+23i 13+21i 21+13i 23+9i	i·(1+i)·(2−i)·(6−5i) (1+i)·(2−i)·(6+5i) (1+i)·(2+i)·(6−5i) −i·(1+i)·(2+i)·(6+5i)
612	6+24i 24+6i	(1+i)²·3·(4−i) −i·(1+i)²·3·(4+i)
613	17+18i 18+17i	простое простое
617	16+19i 19+16i	простое простое
625	7+24i 15+20i 20+15i 24+7i 25	−(2−i)⁴ (2+i)³·(2−i) i·(2+i)·(2−i)³ −i·(2+i)⁴ (2+i)²·(2−i)²
626	1+25i 25+i	(1+i)·(13+12i) (1+i)·(13−12i)
628	12+22i 22+12i	(1+i)²·(11−6i) −i·(1+i)²·(11+6i)
629	2+25i 10+23i 23+10i 25+2i	i·(4−i)·(6+i) i·(4−i)·(6−i) (4+i)·(6+i) (4+i)·(6−i)
634	3+25i 25+3i	(1+i)·(14+11i) (1+i)·(14−11i)
637	14+21i 21+14i	i·(3−2i)·7 (3+2i)·7
640	8+24i 24+8i	i·(1+i)⁷·(2+i) i·(1+i)⁷·(2−i)
641	4+25i 25+4i	простое простое
648	18+18i	−i·(1+i)³·3²
650	5+25i 11+23i 17+19i 19+17i 23+11i 25+5i	(1+i)·(2+i)·(2−i)·(3+2i) (1+i)·(2+i)²·(3−2i) i·(1+i)·(2−i)²·(3−2i) −i·(1+i)·(2+i)²·(3+2i) (1+i)·(2−i)²·(3+2i) (1+i)·(2+i)·(2−i)·(3−2i)
653	13+22i 22+13i	простое простое
656	16+20i 20+16i	−i·(1+i)⁴·(5−4i) −(1+i)⁴·(5+4i)
657	9+24i 24+9i	i·3·(8−3i) 3·(8+3i)
661	6+25i 25+6i	простое простое
666	15+21i 21+15i	(1+i)·3·(6+i) (1+i)·3·(6−i)
673	12+23i 23+12i	простое простое
674	7+25i 25+7i	(1+i)·(16+9i) (1+i)·(16−9i)
676	10+24i 24+10i 26	−i·(1+i)²·(3+2i)² (1+i)²·(3−2i)² −i·(1+i)²·(3+2i)·(3−2i)
677	1+26i 26+i	простое простое
680	2+26i 14+22i 22+14i 26+2i	−i·(1+i)³·(2+i)·(4+i) −i·(1+i)³·(2+i)·(4−i) −i·(1+i)³·(2−i)·(4+i) −i·(1+i)³·(2−i)·(4−i)
685	3+26i 18+19i 19+18i 26+3i	i·(2−i)·(11+4i) (2+i)·(11+4i) i·(2−i)·(11−4i) (2+i)·(11−4i)
689	8+25i 17+20i 20+17i 25+8i	i·(3−2i)·(7+2i) (3+2i)·(7+2i) i·(3−2i)·(7−2i) (3+2i)·(7−2i)
692	4+26i 26+4i	(1+i)²·(13−2i) −i·(1+i)²·(13+2i)
697	11+24i 16+21i 21+16i 24+11i	i·(4+i)·(5−4i) (4+i)·(5+4i) i·(4−i)·(5−4i) (4−i)·(5+4i)
698	13+23i 23+13i	(1+i)·(18+5i) (1+i)·(18−5i)
701	5+26i 26+5i	простое простое
706	9+25i 25+9i	(1+i)·(17+8i) (1+i)·(17−8i)
709	15+22i 22+15i	простое простое
712	6+26i 26+6i	−i·(1+i)³·(8+5i) −i·(1+i)³·(8−5i)
720	12+24i 24+12i	−i·(1+i)⁴·(2−i)·3 −(1+i)⁴·(2+i)·3
722	19+19i	(1+i)·19
724	18+20i 20+18i	(1+i)²·(10−9i) −i·(1+i)²·(10+9i)
725	7+26i 10+25i 14+23i 23+14i 25+10i 26+7i	(2+i)²·(5+2i) i·(2+i)·(2−i)·(5−2i) i·(2−i)²·(5+2i) (2+i)²·(5−2i) (2+i)·(2−i)·(5+2i) i·(2−i)²·(5−2i)
729	27	3³
730	1+27i 17+21i 21+17i 27+i	i·(1+i)·(2−i)·(8−3i) (1+i)·(2+i)·(8−3i) (1+i)·(2−i)·(8+3i) −i·(1+i)·(2+i)·(8+3i)
733	2+27i 27+2i	простое простое
738	3+27i 27+3i	(1+i)·3·(5+4i) (1+i)·3·(5−4i)
740	8+26i 16+22i 22+16i 26+8i	(1+i)²·(2−i)·(6+i) (1+i)²·(2−i)·(6−i) −i·(1+i)²·(2+i)·(6+i) −i·(1+i)²·(2+i)·(6−i)
745	4+27i 13+24i 24+13i 27+4i	i·(2+i)·(10−7i) (2+i)·(10+7i) i·(2−i)·(10−7i) (2−i)·(10+7i)
746	11+25i 25+11i	(1+i)·(18+7i) (1+i)·(18−7i)

Норма	Число	Разложение
754	5+27i 15+23i 23+15i 27+5i	i·(1+i)·(3−2i)·(5−2i) (1+i)·(3+2i)·(5−2i) (1+i)·(3−2i)·(5+2i) −i·(1+i)·(3+2i)·(5+2i)
757	9+26i 26+9i	простое простое
761	19+20i 20+19i	простое простое
765	6+27i 18+21i 21+18i 27+6i	i·(2−i)·3·(4+i) i·(2−i)·3·(4−i) (2+i)·3·(4+i) (2+i)·3·(4−i)
769	12+25i 25+12i	простое простое
772	14+24i 24+14i	(1+i)²·(12−7i) −i·(1+i)²·(12+7i)
773	17+22i 22+17i	простое простое
776	10+26i 26+10i	−i·(1+i)³·(9+4i) −i·(1+i)³·(9−4i)
778	7+27i 27+7i	(1+i)·(17+10i) (1+i)·(17−10i)
784	28	−(1+i)⁴·7
785	1+28i 16+23i 23+16i 28+i	i·(2+i)·(11−6i) (2+i)·(11+6i) i·(2−i)·(11−6i) (2−i)·(11+6i)
788	2+28i 28+2i	(1+i)²·(14−i) −i·(1+i)²·(14+i)
793	3+28i 8+27i 27+8i 28+3i	i·(3+2i)·(6−5i) (3+2i)·(6+5i) i·(3−2i)·(6−5i) (3−2i)·(6+5i)
794	13+25i 25+13i	(1+i)·(19+6i) (1+i)·(19−6i)
797	11+26i 26+11i	простое простое
800	4+28i 20+20i 28+4i	−i·(1+i)⁵·(2−i)² −(1+i)⁵·(2+i)·(2−i) i·(1+i)⁵·(2+i)²
801	15+24i 24+15i	i·3·(8−5i) 3·(8+5i)
802	19+21i 21+19i	(1+i)·(20+i) (1+i)·(20−i)
808	18+22i 22+18i	−i·(1+i)³·(10+i) −i·(1+i)³·(10−i)
809	5+28i 28+5i	простое простое
810	9+27i 27+9i	(1+i)·(2+i)·3² (1+i)·(2−i)·3²
818	17+23i 23+17i	(1+i)·(20+3i) (1+i)·(20−3i)
820	6+28i 12+26i 26+12i 28+6i	(1+i)²·(2+i)·(5−4i) −i·(1+i)²·(2+i)·(5+4i) (1+i)²·(2−i)·(5−4i) −i·(1+i)²·(2−i)·(5+4i)
821	14+25i 25+14i	простое простое
829	10+27i 27+10i	простое простое
832	16+24i 24+16i	−(1+i)⁶·(3−2i) i·(1+i)⁶·(3+2i)
833	7+28i 28+7i	i·(4−i)·7 (4+i)·7
841	20+21i 21+20i 29	i·(5−2i)² (5+2i)² (5+2i)·(5−2i)
842	1+29i 29+i	(1+i)·(15+14i) (1+i)·(15−14i)
845	2+29i 13+26i 19+22i 22+19i 26+13i 29+2i	−(2−i)·(3−2i)² i·(2−i)·(3+2i)·(3−2i) i·(2+i)·(3−2i)² (2−i)·(3+2i)² (2+i)·(3+2i)·(3−2i) −i·(2+i)·(3+2i)²
848	8+28i 28+8i	−i·(1+i)⁴·(7−2i) −(1+i)⁴·(7+2i)
850	3+29i 11+27i 15+25i 25+15i 27+11i 29+3i	(1+i)·(2+i)²·(4−i) i·(1+i)·(2−i)²·(4−i) (1+i)·(2+i)·(2−i)·(4+i) (1+i)·(2+i)·(2−i)·(4−i) −i·(1+i)·(2+i)²·(4+i) (1+i)·(2−i)²·(4+i)
853	18+23i 23+18i	простое простое
857	4+29i 29+4i	простое простое
865	9+28i 17+24i 24+17i 28+9i	i·(2−i)·(13+2i) i·(2−i)·(13−2i) (2+i)·(13+2i) (2+i)·(13−2i)
866	5+29i 29+5i	(1+i)·(17+12i) (1+i)·(17−12i)
872	14+26i 26+14i	−i·(1+i)³·(10+3i) −i·(1+i)³·(10−3i)
873	12+27i 27+12i	i·3·(9−4i) 3·(9+4i)
877	6+29i 29+6i	простое простое
881	16+25i 25+16i	простое простое
882	21+21i	(1+i)·3·7
884	10+28i 20+22i 22+20i 28+10i	(1+i)²·(3−2i)·(4+i) −i·(1+i)²·(3+2i)·(4+i) (1+i)²·(3−2i)·(4−i) −i·(1+i)²·(3+2i)·(4−i)
890	7+29i 19+23i 23+19i 29+7i	i·(1+i)·(2−i)·(8−5i) (1+i)·(2−i)·(8+5i) (1+i)·(2+i)·(8−5i) −i·(1+i)·(2+i)·(8+5i)
898	13+27i 27+13i	(1+i)·(20+7i) (1+i)·(20−7i)
900	18+24i 24+18i 30	−i·(1+i)²·(2+i)²·3 (1+i)²·(2−i)²·3 −i·(1+i)²·(2+i)·(2−i)·3
901	1+30i 15+26i 26+15i 30+i	i·(4+i)·(7−2i) i·(4−i)·(7−2i) (4+i)·(7+2i) (4−i)·(7+2i)
904	2+30i 30+2i	−i·(1+i)³·(8+7i) −i·(1+i)³·(8−7i)
905	8+29i 11+28i 28+11i 29+8i	i·(2+i)·(10−9i) (2+i)·(10+9i) i·(2−i)·(10−9i) (2−i)·(10+9i)
909	3+30i 30+3i	i·3·(10−i) 3·(10+i)
914	17+25i 25+17i	(1+i)·(21+4i) (1+i)·(21−4i)
916	4+30i 30+4i	(1+i)²·(15−2i) −i·(1+i)²·(15+2i)
922	9+29i 29+9i	(1+i)·(19+10i) (1+i)·(19−10i)
925	5+30i 14+27i 21+22i 22+21i 27+14i 30+5i	i·(2+i)·(2−i)·(6−i) (2+i)²·(6+i) i·(2−i)²·(6+i) (2+i)²·(6−i) i·(2−i)²·(6−i) (2+i)·(2−i)·(6+i)
928	12+28i 28+12i	−(1+i)⁵·(5+2i) −(1+i)⁵·(5−2i)
929	20+23i 23+20i	простое простое
932	16+26i 26+16i	(1+i)²·(13−8i) −i·(1+i)²·(13+8i)
936	6+30i 30+6i	−i·(1+i)³·3·(3+2i) −i·(1+i)³·3·(3−2i)
937	19+24i 24+19i	простое простое
941	10+29i 29+10i	простое простое
949	7+30i 18+25i 25+18i 30+7i	i·(3−2i)·(8+3i) (3+2i)·(8+3i) i·(3−2i)·(8−3i) (3+2i)·(8−3i)
953	13+28i 28+13i	простое простое
954	15+27i 27+15i	(1+i)·3·(7+2i) (1+i)·3·(7−2i)
961	31	простое
962	1+31i 11+29i 29+11i 31+i	(1+i)·(3+2i)·(6+i) (1+i)·(3+2i)·(6−i) (1+i)·(3−2i)·(6+i) (1+i)·(3−2i)·(6−i)
964	8+30i 30+8i	(1+i)²·(15−4i) −i·(1+i)²·(15+4i)
965	2+31i 17+26i 26+17i 31+2i	i·(2+i)·(12−7i) (2+i)·(12+7i) i·(2−i)·(12−7i) (2−i)·(12+7i)
968	22+22i	−i·(1+i)³·11
970	3+31i 21+23i 23+21i 31+3i	i·(1+i)·(2−i)·(9−4i) (1+i)·(2+i)·(9−4i) (1+i)·(2−i)·(9+4i) −i·(1+i)·(2+i)·(9+4i)
976	20+24i 24+20i	−i·(1+i)⁴·(6−5i) −(1+i)⁴·(6+5i)
977	4+31i 31+4i	простое простое
980	14+28i 28+14i	(1+i)²·(2−i)·7 −i·(1+i)²·(2+i)·7
981	9+30i 30+9i	i·3·(10−3i) 3·(10+3i)
985	12+29i 16+27i 27+16i 29+12i	i·(2−i)·(14+i) i·(2−i)·(14−i) (2+i)·(14+i) (2+i)·(14−i)
986	5+31i 19+25i 25+19i 31+5i	(1+i)·(4+i)·(5+2i) (1+i)·(4−i)·(5+2i) (1+i)·(4+i)·(5−2i) (1+i)·(4−i)·(5−2i)
997	6+31i 31+6i	простое простое
1000	10+30i 18+26i 26+18i 30+10i	−i·(1+i)³·(2+i)²·(2−i) (1+i)³·(2−i)³ −(1+i)³·(2+i)³ −i·(1+i)³·(2+i)·(2−i)²

См. также

Примечания

↑ Окунев, 1941, с. 29.
↑ Окунев, 1941, с. 33—34.
↑ Conrad, Keith, Глава 6.

Литература

Окунев Л. Я. Целые комплексные числа. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР, 1941. — 56 с.
Dresden, Greg; Dymacek, Wayne. Finding factors of factor rings over the Gaussian integers (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 2005. — Vol. 112, no. 7. — P. 602–611. — doi:10.2307/30037545. — JSTOR 30037545.
Gethner, Ellen; Wagner, Stan; Wick, Brian. A stroll through the Gaussian primes (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1998. — Vol. 105, no. 4. — P. 327—337. — doi:10.2307/2589708. — JSTOR 2589708.

Ссылки

Conrad, Keith. The gaussian integers (англ.). Дата обращения: 11 сентября 2013.
Weisstein, Eric W. Gaussian prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Prime Factorization (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
OEIS: Gaussian Primes

[_e06a3107f9225de7-1] Окунев, 1941, с. 29.

[_7133ed2c634ebc6d-2] Окунев, 1941, с. 33—34.

[_4a5e100471d28cf5-3] Conrad, Keith, Глава 6.

[1]

[2]

[3]