Уравнения Фёппля — фон Кармана — уравнения в теории упругости названы в честь Августа Фёппля[1] и Теодора фон Кармана,[2] представляют собой набор нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих большие прогибы тонких плоских пластин.[3] Применяются в различных областях, начиная от проектирования подводных корпусов подводных лодок до механических свойств клеточной стенки.[4] Эти уравнения, которые трудно решить, имеют следующий вид:
[5]
где E — модуль Юнга материала пластины (предполагается однородной и изотропной), υ — коэффициент Пуассона, h — толщина пластины, w — прогиб пластины вне плоскости, P — внешняя нормальная сила на единицу площади пластины, σαβ — тензор напряжений, и α, β — индексы, которые принимают значения 1 и 2 (два ортогональные в плоскости направления). 2-мерный бигармонический оператор определяется как[6]
Уравнение (1) можно получить из кинематических допущений и уравнений связи для пластины. Уравнения (2) описывают сохранение импульса в двух измерениях, где предполагается, что в плоскости напряжения (σ33,σ13,σ23) равны нулю.
Уравнения Фёппля — фон Кармана представляют интерес с чисто математической точки зрения, но физическое применение этих уравнений сомнительно.[7] Ciarlet[8] утверждает, что: двумерные уравнения фон Кармана для пластин, первоначально предложенные фон Карманом [1910], играют мифическую роль в прикладной математике. В то время как они часто и с достаточной точностью изучались с математической точки зрения, включая различные вопросы существования, регулярности и бифуркации решений, но их физическая обоснованность часто подвергалась сомнению. Причины включают в себя следующие факты:
теория зависит от геометрического приближения, которое четко не определено;
произвольным образом задаётся изменение напряжения в поперечном сечении;
используются линейные материальные уравнения, что не соответствует известным соотношением между хорошо определёнными напряжениями и деформациями;
произвольно игнорируются некоторые компоненты деформации;
существует путаница между расчетной и деформированной конфигурациями, что делает теорию неприменимой к большим деформациям, для которых она была, видимо, придумана.
Условия, при которых эти уравнения фактически применимы и дают разумные результаты после решения обсуждаются Ciarlet.[8][9]
При выводе уравнений Фёппля — фон Кармана предполагается верным следующее кинематическое соотношение (также известное как гипотеза Кирхгофа): нормали к поверхности пластины остаются перпендикулярными к пластине после деформации. Также предполагается, что перемещения в плоскости мембраны незначительны и изменения в толщине пластины пренебрежимо малы. Эти предположения подразумевают, что поле смещения u пластины можно выразить как[10]
где v — перемещения в плоскости мембраны. Такая форма поля перемещений неявно предполагает, что вращение пластины мало.
Соотношения между деформациями и перемещениями (деформации фон Кармана)[править | править код]
Компоненты трехмерного лагранжиана тензора деформаций Грина определяются как
Подстановка выражений для поля смещения даёт
Для малых деформаций, но умеренных поворотов, поправки высших порядков, которыми нельзя пренебюречь
Игнорируя все высшие порядки, и соблюдая требования о том, что пластина не меняет своей толщины, компоненты тензора деформации приводятся к виду деформаций фон Кармана
Если предположить, что компоненты тензора напряжений Коши линейно связаны с деформациями фон Кармана посредством закона Гука, пластина изотропная и однородная и, что пластина подвержена только плоским напряжениям[11] мы имеем σ33 = σ13 = σ23 = 0 и
Разлагая слагаемые получим три ненулевые напряжения
Результирующие напряжения в пластине определяются как
Поэтому
и
Решения легче найти, когда уравнения выражаются через результирующие напряжения, а не напряжения в плоскости.
Уравнения Фёппля — фон Кармана выраженные через результирующие напряжения[править | править код]
Уравнения Фёппля — фон Кармана как правило, получают с помощью энергетического подхода с учетом изменения внутренней энергии и виртуальную работу внешних сил. Аналогичный подход можно использовать для записи этих уравнений через результирующие напряжения. Определяющие уравнения
↑ 12Ciarlet, P. G. (1990), Plates and Junctions in Elastic Multi-Structures, Springer-Verlag.
↑Ciarlet, Philippe G. (1980), A justification of the von Kármán equations
↑Ciarlet, Philippe G. (1980), "A justification of the von Kármán equations", Archive for Rational Mechanics and Analysis, 73 (4): 349–389., doi:10.1007/BF00247674
↑Как правило, предположение о нулевой плоскости напряжений производится в этот момент.