Уравнения Лагранжа второго рода (Rjgfuyunx Lgijgu'g fmkjkik jk;g)
Уравне́ния Лагра́нжа второ́го ро́да — дифференциальные уравнения движения механической системы, получаемые при применении лагранжева формализма.
Вид уравнений
[править | править код]Если голономная механическая система описывается лагранжианом ( — обобщённые координаты, t — время, точкой обозначено дифференцирование по времени) и в системе действуют только потенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид
- ,
где i = 1, 2, … n (n — число степеней свободы механической системы). Лагранжиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.
При наличии и потенциальных (), и непотенциальных () обобщённых сил появляется правая часть:
- .
К непотенциальным силам относится, например, сила трения. При этом можно перезаписать уравнения Лагранжа второго рода в несколько иной форме:
- ,
где — кинетическая энергия системы, — обобщённая сила.
Вывод уравнений
[править | править код]Уравнения Лагранжа в механике получаются из законов динамики Эйлера (баланса количества движения и момента количества движения) при определённых ограничениях на систему: в ней должны присутствовать лишь идеальные голономные связи. Это частный, хотя и очень важный случай механических систем. Для других случаев получаются модификации уравнений Лагранжа[1].
Если для рассматриваемой системы актуален принцип наименьшего действия (ему подчиняются далеко не все физические системы), вывод можно провести иначе. В лагранжевой механике вывод уравнений осуществляется на основе данного принципа, гласящего, что действительные движения выделяются из всех мыслимых тем условием, что функционал
- ,
называемый действием, принимает экстремальное (для достаточно малых - минимальное) значение на траектории действительного движения системы ( и — начальный и конечный моменты времени)[2]. Применяя к функционалу действия стандартную схему оптимизации, получим для него уравнения Лагранжа — Эйлера, которые и называются уравнениями Лагранжа второго рода для механической системы. Ниже дан вывод уравнения для системы с одной обобщённой координатой и скоростью.
Будем считать, что вариация на границах равна нулю:
- .
Изменение действия при переходе из состояния в есть
- .
Разлагая эту разность по степеням, получим:
- .
Варьируя это выражение, получаем:
- .
Замечая, что , проинтегрируем второй член по частям:
- .
Первое слагаемое равно нулю исходя из самой первой формулы вывода. Второе слагаемое может быть равно нулю, только если подынтегральное выражение равно нулю. Таким образом, получаем искомое уравнение Лагранжа:
- .
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Бутенин Б.В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. - Тираж 25 000 экз. — С. 56 - 59
- ↑ Медведев Б.В. Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики. — М.: Физматлит, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9. - Тираж 2 000 экз. — С. 19 - 23
Для улучшения этой статьи по физике желательно:
|