Уравнения Дена — Соммервиля (Rjgfuyunx :yug — Vkbbyjfnlx)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника. Эти уравнения можно переписать для симплициальных многогранников поскольку последние двойственны к простым многогранникам.

Формулировка

[править | править код]

Для данного простого -мерного многогранника обозначим через количество граней размерности ; в частности, . Рассмотрим формальную сумму

где , то есть коэффициенты возникают естественным образом при раскрытии скобок левой суммы.

Тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид

для каждого целого .

Связанные определения

[править | править код]
  • Последовательность называется f-вектором многогранника.
  • Последовательность называется h-вектором многогранника.
    • Если — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника лежат на разных уровнях , тогда равно числу вершин индекса ; то есть ровно рёбер из этой вершины идут вниз по . Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой на .
      • В дополнении получаем для любого , это даёт нетривиальные неравенства на -вектор.

В размерности 4 и 5 соотношения были описаны Максом Деном[1]. В общем случае уравнения были описаны Дунканом Сомервилем[англ.] в 1927.

Примечания

[править | править код]
  1. M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561—586

Литература

[править | править код]
  • В. А. Тиморин. Комбинаторика выпуклых многогранников. — МЦНМО, 2002. — (Летняя школа «Современная математика»). — ISBN 5-94057-024-0.