График полинома 5-й степени с четырьмя критическими точками.
Уравнением пятой степени называют уравнение вида: 
Корни уравнения пятой степени 
связаны с коэффициентами 
следующим образом:
Точной формулы решения уравнения пятой степени в радикалах не существует. Если 
, то уравнение имеет вид:
, где 
выносим за скобки (см. Сводное уравнение)
, где один из корней равен нулю.
В скобках уравнение четвертой степени.
Если 
, уравнение биквадратное. Один из корней равен нулю, остальные корни ищут по формуле
.
Если 
, уравнение в скобках имеет вид
, где выносим за скобки:
, где один из корней ноль, остальные три корня ищем по формуле Кардано.
Решите уравнение
.
Решение. Выносим за скобки:
.
Раскладываем 
на множители:
![{\displaystyle x(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05125aff544f16172944f2367313b7a04c419597)
.
Уравнение имеет пять корней:
, ![{\displaystyle x_{2}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8141ffebc487d6eb18fda065b7a4c36f03eea5f3)
, ![{\displaystyle x_{3}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7152304a4e45b1fcd5ce898e6f15a79f00a9ef8)
, ![{\displaystyle x_{4}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafca32927c86a14089677fde13305bb63ebc4c1)
, ![{\displaystyle x_{5}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb434032f0921bfc61c282236dd96a3e1b2ff01)
.
