Уравнение Ричардса (Rjgfuyuny Jncgj;vg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Уравнение Ричардса, описывающее влагоперенос в зоне аэрации (в ненасыщенной зоне), было сформулировано Лоренцо А. Ричардсом в 1931 году[1]. Оно представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, основная трудность решения которого заключается в отсутствии точных аналитических решений.

Закон Дарси разработан для описания потока влаги в водонасыщенной пористой среде, адаптируя его, Ричардс использовал предложение Букингема[англ.] (1907) и вывел общее дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает ненасыщенный влагоперенос в зоне аэрации. Наиболее известной формой записи является:

где

 — коэффициент фильтрации в ненасыщенной зоне,
 — высота всасывающего давления,
 — высота над плоскостью сравнения,
 — объемная влажность, и
 — время.

Уравнение Ричардса аналогично уравнению влагопереноса в насыщенной зоне, переход от одного к другому обусловлен представлением напора в виде h = ψ + z, и заменой насыщенного потока ненасыщенным. Использование формы записи приведенной выше обусловлено удобством описания граничных условий (часто описываемых в терминах напора, например для использования атмосферного условия ψ = 0).

Вывод уравнения

[править | править код]

В этом разделе будет показан вывод уравнения Ричардса для вертикального влагопереноса в очень упрощенном виде. Закон сохранения массы гласит, что величина изменения водонасыщения в закрытом объеме равна величине изменения суммы всех (отрицательных и положительных) потоков влаги в данном объеме. Опишем это математическим языком:

Введем одномерную форму записи для направления :

Горизонтальный поток описан эмпирическим Законом Дарси:

Подставив q в уравнение выше, получим:

И используем выражение для напора h = ψ + z:

Таким образом, получено уравнение Ричардса[2] .

Формулировка

[править | править код]

Уравнение Ричардса используется во многих статьях, посвященных вопросам экологии, потому что оно описывает поток на границе подземных и поверхностных вод (атмосферных осадков, водоемов, рек и т. д.), что является чрезвычайно важным при моделировании миграции различных компонентов. Его так же рассматривают и в чисто математических журналах, потому что его решение не тривиально. Обычно, оно выражается в трех разных формах. Смешанная форма (mixed form), рассмотренная выше, включает в себя описание в терминах и напора и влажности. А также две другие формы записи, в терминах напора (head-based) и водонасыщения (saturation-based).

Запись в терминах напора

[править | править код]

Где C(h) [1/L], [1/м] — это функция водонасыщения от напора:

Эта функция носит название общей гидрофизической характеристики (ОГХ) и может быть определена для различных типов почв на основе метода подбора кривых (метод подбора экспериментального уравнения по кривой) и лабораторных экспериментов, определяющих величину инфильтрации через почвенную (грунтовую) колонку. Одной из наиболее признанных является экспериментальная зависимость, предложенная Ван Генухтеном (van Genuchten) в 1980 году[3].

Запись в терминах водонасыщения

[править | править код]

Где D(θ) [L2/T] — коэффициент влагопереноса:

Ограничения применимости

[править | править код]

Численное решение уравнения влагопереноса Ричардса критиковалось за большие вычислительные затраты и непредсказуемость[4][5], обусловленную тем, что нет гарантии, что вычислительный комплекс (solver) найдет решение (сойдется) для конкретных почвенных характеристик. Также отмечалось, что в данном методе преувеличена  роль капиллярных сил[6] и в некоторой степени его критиковали за излишнюю простоту[7]. При моделировании одномерного влагопереноса метод требует разбивки высокой дискретности для области граничащей с поверхностью (величина дискретизации должна быть не более одного сантиметра).  При трехмерном моделировании численное решение уравнения Ричардса определяется соотношением сторон, где отношение горизонтального и вертикального размеров ячейки модели в расчетной области должно быть не больше 7.

  1. Richards, L.A. Capillary conduction of liquids through porous mediums (англ.) // Physics : journal. — 1931. — Vol. 1, no. 5. — P. 318—333. — doi:10.1063/1.1745010. — Bibcode1931Physi...1..318R.
  2. Celia et al. A general Mass-Conservative Numerical Solution for the Unsaturated Flow Equation (англ.) // Water Resources Research[англ.] : journal. — 1990. — Vol. 26, no. 7. — P. 1483—1496. — doi:10.1029/WR026i007p01483. — Bibcode1990WRR....26.1483C.
  3. van Genuchten, M. Th. A Closed-Form Equation for Predicting the Hydraulic Conductivity of Unsaturated Soils (англ.) // Soil Science Society of America Journal : journal. — 1980. — Vol. 44, no. 5. — P. 892—898. — doi:10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x. Архивировано 18 июня 2013 года.
  4. Short, D., W.R. Dawes, and I. White, 1995.
  5. Tocci, M. D., C. T. Kelley, and C. T. Miller (1997), Accurate and economical solution of the pressure-head form of Richards' equation by the method of lines, Adv.
  6. Germann, P. (2010), Comment on “Theory for source-responsive and free-surface film modeling of unsaturated flow”, Vadose Zone J. 9(4), 1000-1101.
  7. Gray, W. G., and S. Hassanizadeh (1991), Paradoxes and realities in unsaturated flow theory, Water Resour.